Bài tập Toán chuyên đề: Giải tích

Tài liệu tham khảo các chuyên đề về toán học
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Toán chuyên đề: Giải tíchBang đao ham cua ham hợp hai biên ̉ ̣ ̀ ̉ ̀ ́ a a-11 (f(x) )’ = a f (x) f’(x) a = -1: (1/f(x))’ = -f’(x) / f2(x) a=1/2: ( f (x) )’ = f’(x) / 2 f (x )2 (e’f(x))’ = f’(x) ef(x)3 (af(x))’ = af(x) lna (a>0)4 (ln(f(x))’ = f’(x) / f(x)5 (sin f(x))’ = cos f(x). f’(x)6 (cos f(x))’ = - sin f(x). f’(x)7 (arcsin f(x))’ = f’(x) / (1+ f2(x)) = -(arccos f(x))’8 (arctg f(x))’ = f(x)’ / (1 + f2(x)) = -(arccotg f(x))9 dx x ∫ sin x = ln tg 2 + C1 dx dx  x ∏0 ∫ cos x = ∫  ∏  = ln tg  2 + 4  + C   sin  x +   21. Cho hàm số z = arctg (x/y)’ CMR z’’xx + z’’yy = 0Ta có:z’x = (x/y)’ / (1+ (x/y)2) = (1/y) / (x2 + y2)/y2 = y/( x2 + y2)z’’xx= (-2xy)/ ( x2 + y2)2z’y = (x/y)’/(1+(x/y)2) = -x/(x2+y2)z’’yy = 2xy/(x2+y2)2vậy suy ra đpcm .2. Cho hàm số z = ln(1/r) với r= x 2 + y 2 CMR z’’xx + z’’yy=0Ta có:(ln(1/r))’ = (1/r)’ / (1/r)z’x = (1/r)’/(1/r) = -( x 2 + y 2 )’ / (x2 + y2) = -x /(x2 + y2)z’’xx = (-x/(x2 + y2))’ = (x2 – y2) / (x2 + y2)2z’y = (1/r)’/(1/r) = -( x 2 + y 2 )’ / (x2 + y2) = -y /(x2 + y2)z’’yy = (-y /(x2 + y2))’ = (y2 - x2) / (x2 + y2)2suy ra dpcm3. Cho hàm sốz’x = arctg x/y + x (x/y)’ /(1 + (x2 / y2)) – 2x = arctg x/y + x/ y(1 + (x2 / y2)) – 2xz’y = -x2 /(y2(1 + (x2/y2))) – 2ysuy ra dpcm4. Tính các đạo hàm riêng của hàm sốXem y = const ta tìm đượcdf 1  x  1 = 1 + =dx x + x 2 + y 2  x +y  2 2  x2 + y2 Xem x = const ta tìm đượcdf 1 y = .dy x + x 2 + y 2 x2 + y25. Tìm vi phân toàn phầndz = 1 x+ y d = ( x − y ) 2 . 2( xdy − ydx ) = xdy − ydx   x+ y x− y 2 x + y 2 2 ( 2 )( x − y) 2 x2 + y2 1+  x− y   6. Tìm cực trị của hàm sốHàm z được viết lại như sau z = ex (x2 + 4x + 4y – y2)Tìm điểm dừng của zz’x = ex (x2 + 4x + 4y – y2) + ex(2x + 4) = 0z’y = ex(4 – 2y) = 0Giải hệ trên ta được hai điểm dừng M1(-2,2); M2(-4,2)Điều kiện đủz’’xx = [ex(x2 + 6x + 4y – y2 + 4)]’ = ex(x2 + 6x + 4y – y2 + 4) + ex(2x + 6) =ex(x2 + 8x + 4y – y2 + 10)z’’yy = [ex(x2 + 6x + 4y – y2 + 4)]’ = ex(4 – 2y)z’’yx = ex(4 – 2y)Xét điểm M1(-2,2) ta có A = z’’xx|M1 = -2 e-2C = z’’yy|M1= 0B = z’’yx|M1= 0Vậy AC – B2= 0 chưa kết luận được.Xét điểm M2(-4,2) ta cóA = z’’xx|M2 = -2 e-4C = z’’yy|M2= 0B = z’’yx|M2= 0Vậy AC – B2= 0 chưa kết luận được.7. Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – 3xyTìm điểm dừng của zz’x = 3x2 – 3yz’y = 3y2 – 3xgiải hệ trên ta được M1(0,0) và M2(1,1)điều kiện đủz’’xx = 6xz’’yy = 6yz’’yx = -3Xét điểm M1(0,0) ta có A = z’’xx |M1 = 0; C = 0; B = -3Ta có AC – B2 > 0 có cực trị A=0 đạt cực đạiZ(M1) = 0Xét điểm M1(0,0) ta có A = z’’xx |M2 = 6; C = 6; B = -3Ta có AC – B2 > 0 có cực trị với A>0 đạt cực tiểuZ(M2) = -18. Tìm cực trị của hàm số z = x2 + xy +y2 - 4lnx – 10lnyx, y > 0F’(x)= 2x + y – 4/xF’(y)= x+2y - 10/y  2x + y - 4/x = 0 (1)  - 2x + 4/x = y (1)Điểm dừng là nghiệm  =>  x + 2y - 10/y = 0 xy + 2y - 10 = 0 2 (2) (2)Thay(1)vào(2)tadc x * (-2x + 4/x) + 2 * (-2x + 4/x) - 10 =0 2 - 2x + 4 + 8x + 32/x - 32 - 10 = 0 2 2 2 6x 2 + 32/x 2 - 38 = 0 6x 4 + 32 - 38 x 2 = 0  x2 = 1  x =1   x2 = 16 =>  4 3  x=  3   3X= 1 thì y =2 4 3 4 3X= thì y = -2* + 3 < 0 (loại ) 3 3 4A= f’’(x)= 2 + 2 = 6 tại x=1 x 10 9C=f’’(y)=2 + 2 = tại y=2 y 2B = f’’yx = 1Ta có AC – B2 = 26>0 với A>0 hàm số đạt cực tiểu tại điểm dừng (1,2) cực tiểu z = 3 – 10 ln29. Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z =z(x,y) xác định từ phương trình x+y+z =ezTa cóF(x,y,z) = ez – x –y –z =0F’x(x,y,z) = -1F’y(x,y,z) = -1F’z(x,y,z) = ez – 1 1Do đó z’x = z’y = z e −110. Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – x – yĐiểm dừngZ’x = 3x2 – 1Z’y = 3y2 – 1Giải hệ trên ta có hai điểm dừng M1(1/ 3 ,-1/ 3 ) và M2 (-1/ 3 ,1/ 3 )Điều kiệ ...