Bài tập Toán: Khảo sát hàm số

Gỉa sử hàm số y = f(x) có tập xác định D. Hàm số f đồng biến trên D y = 0, với mọi x thuộc D và y = 0 nó chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D . hàm số f nghịch biến trên D y = 0 , với mọi x thuộc D và y = 0 nó chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Toán: Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TRẦN SĨ TÙNG ---- ›š & ›š ----TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2012 www.MATHVN.comTrần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐA. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D. · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu y = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ³ 0, x Î R Û í a > 0 + y £ 0, x Î R Û í a < 0 ì ì îD £ 0 îD £ 0 · Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) : + Nếu D < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a. b + Nếu D = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = - ) 2a + Nếu D > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a. · So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0: ìD ³ 0 ìD ³ 0 ï ï + x1 £ x2 < 0 Û í P > 0 + 0 < x1 £ x2 Û í P > 0 + x1 < 0 < x2 Û P < 0 ïS < 0 ïS > 0 î î · g( x ) £ m, x Î (a; b) Û max g( x ) £ m ; g( x ) ³ m, x Î (a; b) Û min g( x ) ³ m ( a;b ) ( a;b )B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định). · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu y = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ³ 0, x Î R Û í a > 0 + y £ 0, x Î R Û í a < 0 ì ì îD £ 0 îD £ 0 2. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) . Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) ³ g( x ) (*) thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) Trang 1 www.MATHVN.comKhảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) £ g( x ) (**) thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) £ min g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x - a . Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c . ìa > 0 ïD > 0 ìa > 0 ï – Hàm số f đồng biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) ³ 0, t < 0 Û í Úí îD £ 0 ïS > 0 ïP ³ 0 î ìa > 0 ïD > 0 ìa > 0 ï – Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) ³ 0, t > 0 Û í Úí ...