Bài tập Toán tích phân

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về Toán tích phân
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Toán tích phânTrường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Chuyên đề: TÍCH PHÂNA – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:I – Phương pháp đổi biến số:1) Đổi biến dạng u = u(x):Phương pháp chung: • Bước 1: chọn t = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp • Bước 2: Lấy vi phân dt = u’ (x)dx • Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt • Bước 4: Khi đó I = ∫ g (t )dt Dấu hiệu Cách chọn Hàm số có mẫu t là mẫu số Hàm số f(x, ϕ (x) ) t = ϕ (x) a sin x + b cos x x x Hàm f(x) = t = tan (với cos ≠ 0 ) c sin x + d cos x + e 2 2 1 + Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt t = x + a + x + b Hàm f ( x) = ( x + a )( x + b ) +Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt t = x + a + − x − bVí dụ: Tính các tích phân sau: xdx e3xa) ∫ b) ∫ e x − 1dx c) ∫ 2 x ∫ x( x + 1) 10 dx d) dx x2 + 3 e +1Giảia) Đặt u = x 2 + 3 ⇒ u 2 = x 2 + 3 ⇒ 2udu = 2 xdx ⇒ udu = xdx xdx udu∫ x 2 + 3 = ∫ u = ∫ du = u + C = x + 3 + C 2 2udu 2udub) Đặt u = e x − 1 ⇒ u 2 = e x − 1 ⇒ 2udu = e x dx, e x = u 2 + 1 ⇒ dx = = 2 ex u +1 ( )c) Đặt u = e x ⇒ du = e x dx , e 2 x = e x 2 = u2 2udu u 2 du du∫ e x − 1dx = ∫ u. u +1 2 = 2∫ 2 u +1 = 2 ∫ du − 2 ∫ 2 u +1 = 2u − 2 arctan u + C = 2 e x − 1 − 2 arctan e x − 1 + C e3x e 2 x .e x u2 1∫ e2x + 1 dx = ∫ 2 x e +1 dx = ∫ 2 du = ∫ du − ∫ 2 du = u − arctan u + C = e x − arctan e x + C u +1 u +1d) Đặt u = x + 1 ⇒ x = u − 1 ⇒ dx = du u 12 u 11 1 1∫ x( x + 1)10 dx = ∫ (u − 1)u 10 du = ∫ u 11 du − ∫ u 10 du = − 12 11 + C = ( x + 1)12 − ( x + 1)11 + C 12 112) Đổi biến dạng x = ϕ (t)Phương pháp chung: • Bước 1: chọn x = ϕ (t), trong đó ϕ (t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp • Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ ’ (t)dt • Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt • Bước 4: Khi đó I = ∫ g (t )dt Các dấu hiệu:Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 1Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Dấu hiệu Cách chọn a2 − x2 π π x = a sint với − ≤ t ≤ hoặc 2 2 x = a cost với 0 ≤ t ≤ π x2 − a2 a  π π x= với t ∈ − ;  { 0} hoặc sin t  2 2 a π  x= với t ∈ [ 0; π ]   cos t 2 x2 + a2 π π ...