Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Bất đẳng thức (Hướng dẫn và đáp số)

Tham khảo tài liệu bài tập trắc nghiệm tổng hợp bất đẳng thức (hướng dẫn và đáp số), tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Bất đẳng thức (Hướng dẫn và đáp số) Chương I NG TH C B NG PHƯƠNG PHÁP BI N I TƯƠNG ƯƠNGI . Tính ch t cơ b n: ax > bx khi x > 0a. a > b ⇔  ax < bx khi x < 0  a − b > x − y a > x a > x b.  ⇒ a + b > x + y Chú ý  ⇒  ab > xy b > y b > y a x  >  b y a > x ≥ 0c.  ⇒ ab > xy b > y ≥ 0d. a > b ≥ 0 ⇒ a 2 > b 2H qu : a > b ⇔ a 2 > b 2 1 1e. a > b > 0 ⇒< a b 1 1 a 0 • x < A ⇔ −A < x < A x < − A • x > A⇔  x > AII. Vài b t ng th c thông d ng: V i a, b, c,… tùy ý ( a, b, c... ∈ R )a. a 2 + b 2 ≥ 2ab ( D u “ = ” x y ra ⇔ a = b )b. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ( D u “ = ” x y ra ⇔ a = b = c ) 1 1 1 1 4c. V i a, b > 0 ta có: (a + b)  +  ≥ 4 ⇔ + ≥ a b a b a+bIII. Các ví d :  π πVí d 1: Cho x, y ∈  − ;  . Ch ng minh b t ng th c: 4 4  tan x − tan y ⇔ tan x − tan y > 1 − tan x tan y ⇔ tan 2 x + tan 2 y − 2 tan x tan y < 1 − 2 tan x tan y + tan 2 x tan 2 y ⇔ tan 2 x + tan 2 y − tan 2 x tan 2 y − 1 < 0 ⇔ tan 2 x(1 − tan 2 y ) − (1 − tan 2 y ) < 0  π π ⇔ (1 − tan 2 y )(tan 2 x − 1) < 0 ( Luôn úng ∀x, y ∈  − ;  )  4 4Ví d 2: Ch ng minh r ng v i m i s th c a, b, c th a mãn i u ki n a + b + c = 1 thì: 1 1 1 a b c a + b + c ≥ 3.  a + b + c  3 3 3 3 3 3 Gi i: 1 Vì hàm s gi m nên ta có: 3x 1 1 a b a b 0 ≥ ( a − b)  a − b  ⇒ b + a ≥ a + b 3 3  3 3 3 3 Tương t ta có: b c b c c a c a c + b ≥ b+ c; a+ c ≥ c+ a 3 3 3 3 3 3 3 3 C ng v theo v các b t ng th c trên ( chú ý r ng a + b + c = 1 ), ta ư c: 1 1 1 a b c a b c a + b + c −  a + b + c  ≥ 2 a + b + c  3 3 3 3 3 3  3 3 3  1 1 1 a b c ⇔ a + b + c ≥ 3  a + b + c  ( pcm) 3 3 3 3 3 3 Ví d 3:a. Cho x > 0, y > 0 và xy ≤ 1 . Ch ng minh: 2 1 1 ≥ + (1) 1 + xy 1+ x 1+ yb. Cho 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d và bd ≤ 1 . Ch ng minh: 4 1 1 1 1 ≥ + + + 1 + 4 abcd 1 + a 1 + b 1 + c 1 + dGi i:a. Vì x > 0, y > 0 nên b t ng th c (1) tương ương v i: 2(1 + x)(1 + y ) ≥ (1 + xy )(1 + y ) + (1 + xy )(1 + x) ⇔ 2 + 2 x + 2 y + 2 xy ≥ 1 + xy + y + y xy + 1 + xy + x + x xy ⇔ ( x + y ) + 2 xy ≥ xy ( x + y ) + 2 xy ⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) + 2( xy − xy ) ≥ 0 ⇔ ( x + y )(1 − xy ) + 2 xy ( xy −1) ≥ 0 ⇔ (1 − xy )( x + y − 2 xy ) ≥ 0 2 ⇔ (1 − xy )( x − y )2 ≥ 0 (2) ( x − y ) 2 ≥ 0  Vì:  nên (2) úng ( pcm)  xy ≤ 1 ⇒ 1 − xy ≥ 0   a , b, c , d > 0  a , b, c , d > 0 a ≤ b  b. a ≤ b ≤ c ≤ d nên  ⇒ ac ≤ db ≤ 1 bd ≤ 1  c≤d  bd ≤ 1  Theo k t qu câu a, ta có:  1 1 2 1 + a + 1 + c ≤ 1 + ac (a, c > 0; ac ≤ 1)    1 + 1 ≤ 2 (b, d > 0; bd ≤ 1)  1 + c 1 + d 1 + bd 1 1 1 1  1 1  ⇒ + + + ≤ 2.  +  1+ a 1+ b 1+ c 1+ d  1 + ac 1 + bd  2 ≤ 2. 1 + ac . bd 4 = ( pcm) 1 + abcdVí d 4: Cho a, b, c ∈ [ − 1; 2] th a mãn i u ki n a + b + c = 0 . Ch ng minh: a 2 + b2 + c 2 ≤ 6Gi i:• a ∈ [ − 1; 2] ⇔ −1 ≤ a ≤ 2 ⇔ ( a + 1)(a − 2) ≤ 0 ⇔ a 2 − a − 2 ≤ 0 ⇔ a 2 ≤ a + 2 (1) b 2 ≤ b + c (2) • Tươ ...