Bài tiểu luận: Các công thức tích phân Cauchy

Bài tiểu luận "Các công thức tích phân Cauchy" giới thiệu đến các bạn cách xây dựng công thức tích phân Cauchy và một số hệ quả của nó. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tiểu luận: Các công thức tích phân Cauchy BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY ĐẮK LẮK, NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG ĐẮK LẮK, NĂM 2016 DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN 1q Huỳnh Đậu Mai Phương 2q Đinh Như Mạnh Hùng 3q Hoàng Văn Phung 4q Nguyễn Hồng Quân 5q Mai Đức Chung 6q Lê Hồ Quang Minh 7q Bùi Nguyễn Luân 8q Trần Kông Long 9q Vi Ánh Mừng i MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 2 2 Các công thức tích phân Cauchy 5 Kết Luận 11 ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT N : t Tập hợp các số tự nhiên N u 1, 2, . . . N0 :  Yt u Tập hợp các số N0 N 0 E : Đối ngẫu đại số của E E1 : Đối ngẫu topo của E Eco1 : Không gian E 1 với topo compact mở p q B a, r : Hình cầu mở tâm a bán kính r p q B a, r : Hình cầu đóng tâm a bán kính r l1 : Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối c0 : Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không c0 : Tập các dãy số thực dương hội tụ về không intU : Phần trong của U U : Bao đóng của U XK : Không gian Banach sinh bởi K X€ p P E, F q : Không gian các đa thức từ E vào F p Hb E, F q : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn của E giá trị trong F H pU q : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng H pU, F q : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F NpNq : Tập các đa chỉ số tr. : Trang iii Mở đầu Trong tiểu luận này chúng ta sẽ được biết cách xây dựng công thức tích phân Cauchy và một số hệ quả của nó. 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả cần thiết, liên quan đến nội dung chính của tiểu luận. Định nghĩa 1.0.1. Giả sử E, F là các không gian Banach còn m N. Ánh P xạ A : E m Ñ F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nghĩa là với mọi ap qP a1 , a2 , ..., am ¤ ¤ E m và mọi 1 j m, các ánh xạ Ej Q xj Ñ Apa1 , ..., aj
1 , xj , aj 1 , ..., am q là tuyến tính. p q p q Kí hiệu: La m E, F và L m E, F lần lượt là các không gian vectơ các ánh xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ E m vào F tương ứng. Với P p q A La m E, F , xác định }A}  sup }Apx1, ..., xmq} : xj P E, }xj } ¤ 1, 1 ¤ j ¤ m và gọi là chuẩn (suy rộng) của A.  p q p q p q p q Khi m 1, ta viết La 1 E, F La E, F và L 1 E, F  L E, F . Khi F K p m viết La E, K q p q p m La E và L E, Km q p q m  L E . Cuối cùng khi m 1, sẽ p q viết như thông thường La E # E ,L E p q E . Định nghĩa 1.0.2. Ánh xạ P : E Ñ F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần nhất bậc m)nếu tồn tại A P La pm E, F q sao cho P pxq  Axm @x P E . p q Kí hiệu: Pa m E, F không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ E p q tới F và P m E, F là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tục 2 của Pa pmE, F q. Đối với mỗi P P PapmE, F q, đặt }P }  sup }P pxq} : x P E, }x} ¤ 1 và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P . Khi F  p q  pmE q và P pmE, Kq  P pmE q. K ta viết Pa m E, K Pa Định nghĩa 1.0.3. Chuỗi lũy thừa từ E tới F tại điểm a P E là chuỗi có 8 ° dạng Pm px
aq, ở đây Pm P Pa pm E, F q với mọi m P N0 . m 0 8 ° 8 ° Chú ý rằng chuỗi lũy thừa p
aq có thể viết như Pm x p
aqm, ở Am x m 0 m 0 đây Am P pLsa m E, F q, Apm  Pm. Định nghĩa 1.0.4. Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U F gọi là Ñ P chỉnh hình hay giải tích nếu với mọi a U tồn tại trong hình cầu B a, r U p q€ P p và một dãy các đa thức Pm P m E, F sao cho q 8 ¸ p q f x ...