BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ

Bài tập minh họa cực trị trong không gian tọa độ
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ BÀI TOÁN 3 (CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) x −1 y + 2 zBài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;4) và đường thẳng (d ) : = = . −1 1 2Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. (Tương tự đề thi Đại Học Khối A năm 2008) Lời giải tham khảo Cách1:Phương pháp hình học (Đáp án của Bộ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) và K là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Ta có theo tính chất đoạn vuông góc và đoạn xiên : MH ≤ MK , nên MH lớn nhất khi H ≡ K . Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng vuông góc với AK tại K. → Giải: Ta có K (1 − t;−2 + t;2t ) ∈ (d ) ⇒ AK = (− t; t − 6;2 t − 2) → (d) có véctơ chỉ phương a = (−1;1;2) . → → 5 → 5 13 4 AK ⊥ a ⇔ t = . Do đó AK = (− ;− ; ) . Chọn véctơ pháp tuyến của mặt 3 3 3 3 → phẳng (P) là n = (5;13;−4) . Chọn điểm M 0 (1;−2;0) ∈ (d ) ⇒ M 0 ∈ (P) . Phương trình mặt phẳng (P): 5(x-1)+13(y+2)-4(z-0)=0 5x+13y-4z+21 = 0. Cách 2: Phương pháp giải tích. Đặt (P): Ax+By+Cz +D = 0 ( A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) . Chọn M(1;-2;0) và N(0;-1;2) thuộc (d) suy ra M,N thuộc (P). D = − A + 2 B A − 2 B + D = 0  Ta được :  ⇔ A−B − B + 2C + D = 0 C = 2  A−B 2 A + 5B Do đó (P): Ax + By + .z − A + 2B = 0. Ta có d= d (A; P) = . 2 5A 2 + 5B 2 − 2AB Ta xét các trường hợp: 2 5B Trường hợp 1: A=0. Ta được : d = =2 5 5B 2 5B 21 + A 2 1 + 5x B Trường hợp 2: A ≠ 0 . Ta được : d= = (x = ) B 2 B 5 + 5x − 2 x 2 A 5 + 5  − 2  A A 4(25x 2 + 10x + 1) 25x 2 + 10 x + 1 Ta có d 2 = Hàm số f ( x ) = đạt GTLN là : 5x 2 − 2 x + 5 5x 2 − 2 x + 5 35 13 35 70 B 13 khi x = Vậy max d 2 = 4( ) ⇒ mad d = khi x = = . 6 5 6 3 A 5 70 ( Chọn trường hợp 2 vì >2 5 ) 3 Chọn A=5; B=13 thì C=-4 ; D= 21 Phương trình mặt phẳng (P): 5x+13y-4z+21=0. Hết Vình Long, ngày 8 tháng 6 năm 2009. GV Nguyễn Ngọc Ấn, Trường PTTH Bán Công Vĩnh Long, TP Vĩnh Long.Ghi chú: 1/ Có thể xét B=0 , B ≠ 0 (Tương tự như xét A). 2/ Bài toán 4 : Cho hai đường thẳng d và d’. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với d’ góc lớn nhất. ...