Bài toán về cực trị đại số

Tài liệ tham khảo về một số bài toán về cực trị đại số trong các đề thi tuyển sinh đại học gần đây
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài toán về cực trị đại số 1 TÌM GTLN VÀ GTNNA. Kiến thức cơ bản:Công cụ để tìm GTLN - GTNN của một hàm số (hay một biểu thức) thường là: 1) Sử dụng các bất đẳng thức có tên gọi đã biết. 2) Sử dụng một số bđt đơn giản để đánh giá. 3) Đặt ẩn phụ, đưa về các dạng quen thuộc. 4) Qui về một biến để sử dụng phương pháp dùng đạo hàm. 5) Lượng giác hóa. 6) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.B. Một số ví dụ x yVD1: Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa: x + y + z = 1. Tìm GTNN của P  xyz 1 1 Giải: Ta có: 1  ( x  y )  z  2 ( x  y ) z  ( x  y ) z   ( x  y) z  2 4 2 2  1  4( x  y ) z  ( x  y )  4( x  y ) z  4.(2 xy ) z  16 xyz x y   16 xyz x  y  z x  y  1 / 4 Suy ra minP = 16 đạt được  x  y  x  y  z  1 z  1 / 2 VD2: Tìm GTLN của biểu thức yz x  1  zx y  2  xy z  3 p xyz Giải: ĐK: x  1, y  2, z  3 (1) y2 x 1 z 3 Viết lại : P    x y zCách 1. Ta có: x 1 1 x  ( x  1)  1  2 x 1   x 3 y2 1 y  ( y  2)  2  2 2( y  2)   y 22 z3 1 z  ( z  3)  3  2 3( z  3)   z 23 1 1 1 , với mọi x,y,z thỏa (1). Suy ra P    2 22 23 1 2 63 2 2 3 1 1 1 Nên MaxP = đạt được khi    2 22 23 12x = 2, y = 4, z = 6.Cách 2: x 1 , x  1;  Xét hàm số: f ( x )  x Tính f / ( x) , giải phương trình f / ( x) = 0, lập BBT suy ra Maxf(x) = 1/2. Tương tựcho hai biểu thức còn lại … VD3: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa: x  y  z  . Tìm GTLN của biểu thức: 2 P  tan x. tan y  1  tan y tan z  1  tan z tan x  1 Giải:   , ta có: tan( x  y )  tan  z  Từ: x  y  z    2 2  (1)  tan x. tan y  tan y. tan z  tan z. tan x  1 Đặt a = tanx, b = tany, c = tanz. Ta có P  ab  1  bc  1  ca  1    P 2  ab  bc  ca  3  2 (ab  1)(bc  1)  (bc  1)(ca  1)  (ca  1)(ab  1)  ab  1  bc  1 bc  1  ca  1 ca  1  ab  1  8  P 2  4  2   ...