BÁO CÁO ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO

Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử của G. Năm 1904, I. Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G) hữu hạn, thì nhóm [ G, G ] hữu hạn. Kết quả này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm và được gọi là Định lý Schur. Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệt vô hạn, với p là một số nguyên tố lẻ. Mục đích chính của...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
BÁO CÁO " ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO " Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng năm 2012 ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO SCHUR’S THEOREM AND CONVERSES SVTH: Lương Thị Hường Lớp 09ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng GVHD: TS. Nguyễn Ngọc Châu Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tửcủa G. Năm 1904, I. Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G) hữu hạn, thìnhóm [ G, G ] hữu hạn. Kết quả này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm và được gọi là Định lýSchur. Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệtvô hạn, với p là một số nguyên tố lẻ. Mục đích chính của bài báo này là tìm hiểu định lý Schur vàcác phần đảo của nó, được phát biểu và chứng minh bởi 4 tác giả khác nhau. Đây là một mảngkiến thức về lý thuyết nhóm, rất bổ ích cho sinh viên ngành Toán, mà vốn chưa được học trongchương trình đào tạo. Từ khóa: nhóm, nhóm con tâm, nhóm con giao hoán tử, định lý Schur, các p-nhóm quáđặc biệt vô hạn. ABSTRACT Let G be a group, Z(G) and [ G, G ] denote the center and the commutator subgroup of G.In 1904, I. Schur proved that if G/Z(G) is finite, then [ G, G ] is finite. This result has manyapplications in group theory and is called Schur’s theorem. The conver of Schur’s theorem isgenerally not true, such the p-group too special the infinite, with p is a prime retail. The mainpurpose of this paper is to explore the Schur’s theorem and converses of it; be stated and provenby four different authors. This is an array of knowledge about group theory, very usefull for thestudents mathematics, that which has not been studied in the training program. Key words: group, the center subgroup, the commutator subgroup, Schur’s theorem, thep-group too special the infinite.1. Mở đầu Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giaohoán tử của G. Năm 1904, I. Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G)hữu hạn, thì nhóm [ G, G ] hữu hạn. Kết quả này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhómvà được gọi là Định lý Schur. Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳnghạn các p – nhóm quá đặc biệt vô hạn, với p là một số nguyên tố lẻ. Năm 1951, B. H.Neumann [3] đã chứng minh được: Nếu nhóm G hữu hạn sinh và Z2(G) hữu hạn thì nhómG/Z(G) hữu hạn. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu phần đảo của Định lý Schurđã được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, chẳng hạn năm 2010, P. Niroomand [4] đã cóchứng minh: Nếu [ G, G ] hữu hạn và G/Z(G) hữu hạn sinh thì nhóm G/Z(G) hữu hạn. Kếtquả này của P. Niroomand đã được tổng quát hơn nữa bởi B. Sury [6] ( năm 2010 ) và bởiM. K. Yadav [9] ( năm 2011 ). 1 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 8 Đại học Đà Nẵng năm 20122. Định lý Schur và các phần đảo2.1. Định lý Schur Đối với một nhóm G thì tính hữu hạn của G/Z(G) kéo theo tính hữuhạn của [ G, G ].2.2. Các phần đảo của định lý Schur2.2.1. Định lý [3] Nếu G là một nhóm hữu hạn sinh sao cho [ G, G ] là hữu hạn thìG/Z(G) là hữu hạn.2.2.2. Định lý [4] Cho G là một nhóm tùy ý sao cho d(G/Z(G)) và [ G, G ] là hữu hạn, khi d(G/Z(G))đó , trong đó d(X) là số phần tử sinh nhỏ nhất của nhóm X.Chứng minh , trong đóCho G/Z(G) = Z(G),Ta định nghĩa f: G/Z(G) (t lần) ↦ ( [ y, x1],…, [ y, xt ] ) z với yDoVì vậy f được xác định đúng đắn.Ta chứng minh f là 1 đơn ánh.Cho f( ) = f( ) . và theo ( Chương I, Bổ đề 2.1.6 )Ta có nằm trong tâm của yx-1, ta cóDo G sinh bởi xi (1 ) mod Z(G) vàyx-1 . Vậy , do đó f là một đơn ánh. d(G/Z(G))Suy ra: .Áp dụng định lý 2.2 ta sẽ chứng minh được định lý 2.12.2.3. Hệ quả Cho G là một nhóm lũy linh sao cho d(G/Z(G)) và [G, G] là hữu hạn, khi đó chia hết .Chứng minh là hữu hạn theo định lý 2.2 nên ta cóDo … , trong đó là một pi - nhómcon Sylow củaĐịnh lý 2.2 áp dụng với pi cho ta ...