Báo cáo khoa học: Một số phép biến đổi bảo toàn cạnh và góc của tam giác

Báo cáo khoa học: Một số phép biến đổi bảo toàn cạnh và góc của tam giác nhằm tìm ra giải đáp cho vấn đề đã nêu và điều quan trọng là đề cập đến những áp dụng của nó trong chương trình toán Trung học phổ thông.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo khoa học: Một số phép biến đổi bảo toàn cạnh và góc của tam giác Mët sè ph²p chuyºn êi b£o to n c¤nh v  gâc cõa tam gi¡c TS. Trành  o Chi¸n Tr÷íng Cao ¯ng S÷ Ph¤m Gia Lai Trong qu¡ tr¼nh s¡ng t¡c ho°c t¼m tái líi gi£i cho nhúng b i to¡n li¶n quan ¸n c¡c y¸u tè gâc v  c¤nh cõa tam gi¡c, mët v§n · tü nhi¶n sau ¥y ÷ñc n£y sinh: Nhúng ph²p bi¸n êi n o m  £nh cõa ba gâc (c¤nh) cõa mët tam gi¡c công lªp th nh ba gâc (c¤nh) cõa mët tam gi¡c? B i vi¸t n y ph¦n n o t¼m c¥u gi£i ¡p cho v§n · ¢ n¶u v  i·u quan trång l , · cªp ¸n nhúng ¡p döng cõa nâ trong ch÷ìng tr¼nh to¡n Trung håc phê thæng. L÷u þ r¬ng, trong khuæn khê câ h¤n, b i vi¸t ch÷a · cªp ¸n nhúng ¡p döng s¥u s­c hìn, li¶n quan ¸n kh¡i ni»m 'ë g¦n ·u' cõa mët d¢y c¡c tam gi¡c x¡c ành. 1 Ph²p chuyºn êi b£o to n gâc cõa tam gi¡c 1.1 Ph²p chuyºn êi Trong t i li»u [1], b i to¡n cì b£n sau ¥y ¢ ÷ñc · cªp , f (C) luæn t¤o th nh sè o c¡c gâc cõa mët tam gi¡c n o â ùng vîi måi tam gi¡c ABC cho tr÷îc. f (B) B i to¡n 1.1. X¡c ành c¡c h m sè f (x) li¶n töc trong o¤n [0; π], sao cho f (A), Gi£i. Tr÷îc h¸t ta câ nhªn x²t r¬ng, hai h m sè f (x) = x v  f (x) = π thäa m¢n b i 3 to¡n. Ta ph¡t biºu b i to¡n d÷îi d¤ng sau: X¡c ành c¡c h m sè f (x) li¶n töc trong o¤n [0; π] v  Cho y → 0+, ta thu ÷ñc f (x) + f (0) + f (π − x) = π, ∀x ∈ (0; π) f (x) > 0, f (x) + f (y) + f (π − x − y) = π, ∀x, y ∈ (0; π) , x + y < π. (1) 1 hay f (π − x) = π − f (0) − f (x) , ∀x ∈ (0; π) . Thay v o (1), ta thu ÷ñc f (x) + f (y) + (π − f (0) − f (x + y)) = π, ∀x, y ∈ (0; π) , x + y ≤ π hay f (x) + f (y) = f (x + y) + f (0) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π. (2) °t f (x) = f (0) + g (x). Khi â g (x) li¶n töc trong o¤n [0; π] v  (2) câ d¤ng f (0) + g (x) + f (0) + g (y) = f (0) + g (x + y) + f (0) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π (3) Do g (x) li¶n töc trong o¤n [0; π] n¶n (3) l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy, mët d¤ng ph÷ìng tr¼nh h m cì b£n, câ nghi»m g (x) = αx. Suy ra f (x) = f (0) + αx. °t f (0) = β , ta ÷ñc f (x) = αx + β . Ta c¦n x¡c ành α, β º f (x) > 0, ∀x ∈ (0; π), x+y < π v  f (A)+f (B)+f (C) = π hay ⇔ g (x) + g (y) = g (x + y) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π. αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; αA + β + αB + β + αC + β = π. ⇔ αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; α (A + B + C) + 3β = π. ⇔ αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; απ + 3β = π.   αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; ⇔  β = (1 − α) π . 3 f (x) = αx + (1 − α) π , ∀x ∈ (0; π) . 3 Do â (4) Cho x → 0+, tø (4), suy ra Cho x → π−, tø (4), suy ra απ + (1 − α) π ≥ 0 ⇔ α ≤ 1. 3 (1 − α) π ≥0 3 2 1 hay α ≥ − 2 . Vªy − 1 ≤ α ≤ 1. 2 1 Vîi − 2 < α < 1, th¼ f (x) x¡c ành bði (4) hiºn nhi¶n thäa m¢n b i to¡n. X²t α = − 1 th¼ f (x) = − 1 x + π thäa m¢n i·u ki»n b i ra. 2 2 2 Thªt vªy, vîi 0 < x < π th¼ f (x) > f (π) = 0. Suy ra f (x) > 0, ∀x ∈ (0; π). X²t α = 1 th¼ f (x) = x hiºn nhi¶n thäa m¢n i·u ki»n b i ra. Vªy c¡c h m sè c¦n t¼m ·u câ d¤ng f (x) = αx + Nh÷ vªy, líi gi£i tr¶n ¥y ¢ v²t h¸t t§t c£ c¡c nghi»m, l  c¡c h m sè f (x), thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa b i to¡n. B¥y gií, ta ti¸p töc t¼m ki¸m nhúng ¡p döng cö thº cõa b i to¡n tr¶n v  x²t nhúng tr÷íng hñp kh¡c m  b i to¡n ch÷a · cªp. Tø B i to¡n 1.1, ta câ A1 , B1 , C1 1 M»nh · 1.1. Vîi − 2 (1 − α) π 1 , − ≤ α ≤ 1. 3 2 x¡c ành nh÷ sau ≤ α ≤ 1, n¸u A, B , C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A1 = αA + (1 − α) π (1 − α) π (1 − α) π , B1 = αB + , C1 = αC + , 3 3 3 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c. M»nh · 1.2. Vîi α < − 1 , n¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n 2 max {A, B, C} < (α − 1) π , 3α th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau A1 = αA + (1 − α) π (1 − α) π (1 − α) π , B1 = αB + , C1 = αC + , 3 3 3 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c. Chùng minh. Thªt vªy, vîi α < − 1 , ta câ 2 max {A, B, C} < (α − 1) π (α − 1) π ⇒A< 3α 3α (1 − α) π > 0 ⇒ A1 > 0. 3 T÷ìng tü B1 > 0 v  C1 > 0. Hìn núa, A1 + B1 + C1 = π, n¶n ta câ i·u ph£i chùng ⇒ 3αA + (1 − α) π > 0 ⇒ αA + minh. 3 > 1, n¸u A, B , C l  ba (α − 1) π min {A, B, C} > , th¼ A1, B1, C1 x¡c ành 3α A1 = αA + M»nh · 1.3. Vîi α gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n nh÷ sau (1 − α) π (1 − α) π (1 − α) π , B1 = αB + , C1 = αC + , 3 3 3 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c. Chùng minh. Thªt vªy, vîi α > 1, ta câ min {A, B, C} > (α − 1) π (α − 1) π ⇒A> 3α 3α (1 − α) π > 0 ⇒ A1 > 0. 3 T÷ìng tü B1 > 0 v  C1 > 0. Hìn núa, A1 + B1 + C1 = π, n¶n ta câ i·u ph£i chùng ⇒ 3αA + (1 − α) π > 0 ⇒ αA + minh. D÷îi ¥y l  mët sè tr÷íng hñp ri¶ng, minh håa cho c¡c m»nh · tr¶n. - Tø M»nh · 1.1, vîi α = − 1 , ta câ 2 H» qu£ 1.1. N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A , B , C x¡c ành nh÷ sau hay A1 = 1 1 1 A1 = π−B π−C π−A , B1 = , C1 = 2 2 2 B+C C +A A+B , B1 = , C1 = 2 2 2 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c. - Tø M»nh · 1.1, vîi α = 1 , ta câ 2 H» qu£ 1.2. N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A , B , C x¡c ành nh÷ sau hay A1 = 1 1 1 A1 = π + 3A π + 3B π + 3C , B1 = , C1 = 6 6 6 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c. 4A + B + C 4B + C + A 4C + A + B , B1 = , C1 = 6 6 6 4 - Tø M»nh · 1.2, vîi α = − 2 , ta câ 3 H» qu£ 1.3. N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < 5π , 6 th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau A1 = hay A1 = 5π − 6A 5π − 6B 5π − 6C , B1 = , C1 = 9 9 9 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c. 5B + 5C − A 5C + 5A − B 5A + 5B − C , B1 = , C1 = 9 9 9 - Tø M»nh · 1.2, vîi α = − 4 , ta câ 5 H» qu£ 1.4. N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < 3π , 4 th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau A1 = hay A1 = 3π − 4A 3π − 4B 3π − 4C , B1 = , C1 = 5 5 5 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c. 3B + 3C − A 3C + 3A − B 3A + 3B − C , B1 = , C1 = 5 5 5 - Tø M»nh · 1.2, vîi α = −1, ta câ th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau A1 = H» qu£ 1.5. N¸u A, B, C ...