Bất đẳng thứ Karamata và một số ứng dụng

Tài liệu học tập và luyện thi, nhằm giúp các bạn có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi bước vào kỳ thi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thứ Karamata và một số ứng dụng B t ð ng Th c Karamata và M t S ng D ng Cao Minh Quang THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long1. L i gi i thi u Jovan Karamata sinh ngày 1 tháng 2 năm 1902 t i Zagreb, Serbia. B t ñ u h c khoa cơ khí tnăm 1920, nhưng ñ n năm 1922, ông chuy n ñ n khoa toán ñ h c. T t nghi p năm 1925, ngay l p t cKaramata ñư c nh n làm tr gi ng cho giáo sư Mihailo Petrovic. Ông nh n ñư c h c v ti n sĩ năm1926, tr thành giáo sư ð i h c Belgrade vào năm 1950. Năm 1951 Karamata r i Belgrade, ñ n gi ngd y t i ð i h c Geneva. Ông s ng và làm vi c ñây ñ n cu i ñ i. Karamata m t ngày 14 tháng 8 năm1967. B t ñ ng th c Karamata là m t d ng t ng quát c a b t ñ ng th c Jensen.2. B t ñ ng th c Karamata Trư c h t, ta s ñ nh nghĩa các b tr i.2.1. ð nh nghĩa. N u x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn , x1 ≥ y1, x1 + x2 ≥ y1 + y2 , ..., x1 + x2 + ... + xn−1 ≥ y1 + y2 + ... + yn−1và x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn thì ta nói b ( x1 , x2 ,..., xn ) tr i hơn b ( y1 , y2 ,..., yn ) và ta kí hi ulà ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) hay ( y1, y2 ,..., yn ) ≺( x1, x2 ,..., xn ) . x1 + x2 + .. + xn Hi n nhiên, n u x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn thì ( x1 , x2 ,..., xn ) ≻ ( x, x,..., x) , trong ñó x = . n2.2. B t ñ ng th c Karamata N u hàm s f ( x) là hàm l i trên ño n I = [ a, b] và ( x1, x2 ,..., xn ) ≻( y1, y2 ,..., yn ) v i m i xi , yi ∈ I thì f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + ... + f ( yn ) . ð ng th c x y ra khi và ch khi xi = yi , i = 1, 2,..., n . Ta cũng có phát bi u tương t ñ i v i hàm s lõm b ng cách ñ i chi u d u b t ñ ng th c. Ch ng minh. Vì f ( x) là hàm l i nên f ( x) − f ( y) ≥ ( x − y). f ( y), ∀x, y ∈ I . Th t v y: f ( x) − f ( y ) • N u x ≥ y thì = f (α ) ≥ f ( y ), α ∈ ( y, x) . x− y f ( y ) − f ( x) • N u x ≤ y thì = f (β ) ≤ f ( y ), β ∈ ( x, y ) . y−x T ñó suy ra f ( xi ) − f ( yi ) ≥ ( xi − yi ). f ( yi ), ∀xi , yi ∈ I , i = 1,2,..., n . Chú ý r ng f ( yi ) ≥ f ( yi +1 ), x1 + x2 + ... + xi ≥ y1 + y2 + ... + yi , i = 1,2,..., n −1 , s d ng khai tri nAbel, ta có n n ∑ f ( xi ) − f ( yi ) ≥ ∑( xi − yi ). f ( yi ) = ( x1 − y1) f ( y1) +( x2 − y2 ) f ( y2 ) + ... +( xn − yn ) f ( yn ) i=1 i=1 = ( x1 − y1 )  f ( y1 ) − f ( y2 ) + ( x1 + x2 − y1 − y2 )  f ( y2 ) − f ( y3 ) + ... +( x1 + x2 +... + xn − y1 − y2 −... − yn )  f ( yn−1) − f ( yn ) +( x1 + x2 +... + xn − y1 − y2 −... − yn ) f ( yn ) ≥ 0 . 1 Do ñó f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + ... + f ( yn ) .2.3. H qu . (B t ñ ng th c Jensen). N u hàm s f ( x) là hàm l i trên ño n I = [ a, b] , thì v i m ixi , ∈ I (i = 1, 2,..., n) , ta có  x + x2 + ... + xn   f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) ≥ nf  1  .    n  Ch ng minh. Do tính ch t ñ i x ng, không m t tính t ng quát, ta có th gi s x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn . x + x2 + .. + xnKhi ñó ta ( x1 , x2 ,..., xn ) ≻ ( x, x,..., x) , trong ñó x = 1 . S d ng b t ñ ng th c Karamata ta ncó ngay ñi u c n ch ng minh. ð ng th ...