Bất đẳng thức Muirhead và một vài áp dụng

Bất đẳng thức Muirhead là 1 dạng tổng quát rất quan trọng của bất đẳng thức AM-GM. Nó là 1 công cụ rất mạnh trong việc giải một số bài toán về bất đẳng thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức Muirhead và một vài áp dụng www.VNMATH.com 1 B T Đ NG TH C MUIRHEAD VÀ M T VÀI ÁP D NG LÊ H QUÝ, Trư ng THPT Duy Tân, Kon Tum B t đ ng th c Muirhead là m t d ng t ng quát r t quan tr ng c a b t đ ngth c AM-GM. Nó là m t công c r t m nh trong vi c gi i m t s bài toán v b t đ ngth c.1. Đ nh lí Muirhead1.1. Đ nh nghĩa 1 (B tr i) Cho hai b s th c b t kì a = (a1 , a2 , ..., an ) và b = (b1 , b2 , ..., bn ). Ta nói b a tr i hơnb b, kí hi u a b n u chúng th a mãn các đi u ki n sau đây i) a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an và b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn , ii) a1 ≥ b1 , a1 + a2 ≥ b1 + b2 , ..., a1 + a2 + ... + an ≥ b1 + b2 + ... + bn và iii) a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ... + bn .1.2. Đ nh nghĩa 2 (Trung bình lo i [a]) Gi s xi > 0, 1 ≤ i ≤ n. Kí hi u !F (x1 , x2 , ...xn )là t ng g m n! bi u th c thu đư c t F (x1 , x2 , ...xn ) b ng t t c các hoán v c a xi . Tas ch xét trư ng h p đ c bi t F (x1 , x2 , ..., xn ) = xα1 xα2 ...xαn , v i xi > 0, ai > 0. 1 2 nKhi đó trung bình lo i [a] đư c đ nh nghĩa b i 1 [a] = [a1 , a2 ,..., an ] = !xα1 xα2 ...xαn . 1 2 n n!Đ c bi t n [1, 0, 0,..., 0] = (n−1)! (x1 + x2 + ... + xn ) = n! 1 n xi là trung bình c ng c a xi . i=1 1 1 1 1 1 1 √ n n = n! x1 .x1 ...x1 = n x1 x2 ...xn là trung bình nhân c a xi . , ,..., n n! n n nKhi a1 + a2 + ... + an = 1 thì [a] là m r ng thông thư ng c a trung bình c ng và trungbình nhân.1.3. Đ nh nghĩa 3 G i P (x, y, z) là m t hàm ba bi n x, y, z. Khi đó, ta đ nh nghĩai) T ng hoán v : P (x, y, x) = P (x, y, z) + P (y, z, x) + P (z, x, y). cyclicii) T ng đ i x ng: P (x, y, x) = P (x, y, z) + P (x, z, y) + P (y, x, z) + P (y, z, x)+P (z, x, y)+P (z, y, x). sym www.VNMATH.com 21.4. Đ nh lí MuirheadĐ nh lí 1 (B t đ ng th c Muirhead). Cho xi > 0, 1 ≤ i ≤ n và a, b là hai b n sth c. N u a b thì [a] ≥ [b].Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b và x1 = x2 = ... = xn .Ch ng minh. Có th xem ph n ch ng minh đ nh lí Muirhead trong các tài li u thamkh o [1], [2], [3], [4]. 1 1 1Vì r ng (1, 0, ..., 0) , , ..., n , nên b t đ ng th c AM-GM là m t h qu c a b t n nđ ng th c Muirhead.2. M t vài áp d ng ph n ti p theo, chúng tôi xin trình bày m t s áp d ng c a b t đ ng th cMuirhead trong vi c ch ng minh b t đ ng th c.2.1 Ch ng minh các b t đ ng th c đ i sVí d 1. Cho ba s th c dương a, b, c. Ch ng minh r ng (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.L i gi i. Khai tri n và rút g n ta đư c b t đ ng th c tương đương a2 b + a2 c + b2 c + b2 a + c2 a + c2 b ≥ 6abc.Vì (2, 1, 0) (1, 1, 1) nên theo b t đ ng th c Muirhead ta có [(2, 1, 0)] ≥ [(1, 1, 1)].Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.Ví d 2 (Yogoslavia-1991). Ch ng minh r ng v i m i s th c dương a, b, c, ta luôn có 1 1 1 1 + 3 + 3 ≤ . a3 +b 3 + abc b +c 3 + abc c +a 3 + abc abcL i gi i. Quy đ ng và b m u, r i nhân hai v cho 2, ta đư c b t đ ng th c tương đương (a3 + b3 + abc)(b3 + c3 + abc) ≤ 2(a3 + b3 + abc)(b3 + c3 + abc)(c3 + a3 + abc) sym⇔ (a7 bc + 3a4 b4 c + 4a5 b2 c2 + a3 b3 c3 ) ≤ (a3 b3 c3 + 2a6 b3 + 3a4 b4 c + a7 bc + 2a5 b2 c2 ) sym sym 6 3 5 2⇔ (2a b − 2a b c) ≥ 0 symVì (6, 3, 0) (5, 2, 2) nên theo b t đ ng th c Muirhead nên v trái c a b t đ ng th ccu i cùng là m t h ng t không âm. T đó, ta có đi u ph i ch ng minh.Nh n xét 1. ví d ti p theo, chúng ta s s d ng đ n m t k thu t r t h u ích sauđây www.VNMATH.com 3 Khi x1 .x2 ...xn = 1 thì [(a1 , a2 ...