Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối trong xác suất thống kê - 1

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối1. Biến ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (W, , P) và B(R) là s-đại số các tập Borel với R = (-¥; +¥). Định nghĩa 1.1. Biến ngẫu nhiên X(w) là hàm đo được xác định trên không gian biến cố sơ cấp W và nhận giá trị trong R, nghĩa là với mọi tập BÎ B(R) ta có X-1(B) = { Định lí 1.2. Cho (W, , P) là không gian xác suất. Khi đó X(w) là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian đó khi và chỉ khi với...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối trong xác suất thống kê - 1 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối1. Biến ngẫu nhiênCho không gian xác suất (W, , P) và B(R) là s-đại số các tập Borel với R = (-¥;+¥).Định nghĩa 1.1. Biến ngẫu nhiên X(w) là hàm đo được xác định trên không gianbiến cố sơ cấp W và nhận giá trị trong R, nghĩa là với mọi tập BÎ B(R) ta cóX-1(B) = {Định lí 1.2. Cho (W, , P) là không gian xác suất. Khi đó X(w) là biến ngẫu nhiênxác định trên không gian đó khi và chỉ khi với bất kì số thực xÎR, một trong cácđiều kiện sau được thoả mãni1. {w: X(w) < x} Î ; i2. {w: X(w) x} Î ;i3. {w: X(w) > x} Î ; i4. {w: X(w) x} Î ;Ví dụ 1.3. Giả sử (W, ,P) là không gian xác suất tuỳ ý. Với A Î bất kỳ, địnhnghĩa hàmIA(w) =Hàm IA(w) được gọi là hàm chỉ tiêu trên tập A. Chứng minh IA(w) là biến ngẫunhiên.Giải. Theo Định lí 1.2 ta chỉ cần chứng minh với mỗi x ÎR thì {w: IA(w) x} Î .Thật vậy,{w: IA(w) x} = đều là phần tử của nên {w: IA(w)Do Æ, x} Î .Ví dụ 1.4. Gieo một lần đồng tiền cân đối và đồng chất. Ký hiệu X là số lần xuấthiện mặt sấp xuất hiện. Chứng minh rằng X là biến ngẫu nhiên.Giải. Đặt W = {w1; w2} trong đó w1 là biến cố “xuất hiện mặt sấp”; w2 là biến cố“xuất hiện mặt ngửa”. Ta cóX(w) =Chứng minh giống như trong Ví dụ 1.3 ta có X là biến ngẫu nhiên.Định nghĩa 1.5. Hàm f : Rn ® R được gọi là hàm Borel nếu với bất kì tập B Î B(R)ta có f-1(B) Î Bn(R), trong đó Bn(R) là s-đại số cực tiểu chứa lớp tất cả các hìnhhộp chữ nhật nửa đóng .Ví dụ 1.6. Các hàm dưới đây đều là hàm Borel:f(x) = ; f(x) = sinx, x Î Rf(x) = x1 + x2 + … + xn , (x1,…,xn) Î Rn. (x1,…,xn) Î Rn.f(x) = , (x1,…,xn) Î Rn.f(x) = x1x2…xn ,Định lí 1.7. Cho f(x) là hàm Bôrel trên Rn và X1,…,Xn là những biến ngẫu nhiênxác định trên cùng không gian xác suất (W, ,P). Khi đó f(X1,..,Xn) là biến ngẫunhiên. , X+ =Hệ quả 1.8. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên thì aX, X + Y, X – Y, XY,max(X, 0), X- = min(X, 0), đều là biến ngẫu nhiên.Định lí 1.9. Nếu {Xn(w), n³1} là dãy biến ngẫu nhiên thì ; ; cũng là những biến ngẫu nhiên. ;2. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiênGiả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (W, , P) và nhậngiá trị trong không gian (R, B(R)).Định nghĩa 2.1. Với B Î B(R),PX(B) = P[w: X(w) Î B(R)]được gọi là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.Nếu lấy B = (-¥; x], x Î R thìFX(x) = PX((-¥; x]) = P[w: X(w) x]được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.Ví dụ 2.2.a. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X = IA(w) trong Ví dụ 1.3 là:F(x) = P[w: X(w) x] =b. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X cho trong Ví dụ 1.4 là:F(x) = P[w: X(w) x] =Ví dụ 2.3. Gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối, đồng chất. Nếu ta ký hiệu Y l à biếnngẫu nhiên chỉ số lần mặt sấp xuất hiện thì Y sẽ nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 với cácxác suấtP(Y = 0) = P({NNN}) =P(Y = 1) = P({NNS}, {NSN}, {SNN}) =P(Y = 2) = P({NSS}, {SNS}, {SSN}, ) =P(Y = 3) = P({SSS}) = Từ đó, hàm phân phối của Y làTính chất 2.4. Hàm phân phối F(x) là hàm đơn điệu không giảm, nghĩa là nếu x1 < x2 thì  F(x1) F(x2). Hàm phân phối F(x) là hàm liên tục phải, nghĩa là . Nói  cách khác, nếu {xn} là dãy giảm gồm các số thực hội tụ đến x thì . F(x) = 0 và F(x) = 1 Nếu đã biết hàm phân phối của X thì ta có thể tính được mọi xác suất để X nhậngiá trị rơi vào các đoạn, khoảng khác nhau của trục số. Cụ thể, với a, b ta có P(X > a) = 1 – F(a).  P(X < a) =  P(X = a) =  ;  ;Ví dụ 2.5. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác định bởi Tính P(X < 2); P(X = 1); P(X > 1,5); P(X = 0,5); ; P(2 1,5) = 1 – F(1,5) = P(X = 0,5) = 0 vì hàm F(x) liên tục tại x = 0,5. P( P(2 < X = F(4) – F(2) = 1 -3. Biến ngẫu nhiên rời rạc. ...