Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối trong xác suất thống kê - 2

Định nghĩa 3.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập các giá trị có thể có của X là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Giả sử X nhận các giá trị x1, x2, …, xn,… Đặt Ak = [w: X = xk] và ký hiệu xác suất để nhận giá trị xk là pk =P( X = xk) =P(Ak) ; k = 1, 2,…. Khi đó, P(W) = 1. Định nghĩa 3.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X được xác định bởi P( X =...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối trong xác suất thống kê - 2 Định nghĩa 3.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạcnếu tập các giá trị có thể có của X là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Giả sử X nhận các giá trị x1, x2, …, xn,… Đặt Ak = [w: X = xk] và ký hiệuxác suất để nhận giá trị xk làpk =P( X = xk) =P(Ak) ; k = 1, 2,….Khi đó, P(W) = 1.Định nghĩa 3.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhi ên rời rạc X được xác địnhbởiP( X = xk) = , k = 1, 2, 3,...;Hàm pX(.) được gọi là hàm (mật độ) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.Trong một số trường hợp, ta có thể viết phân phối xác suất của X d ưới dạng bảngnhư sauX x1 x2 … xn …P(X = p1 p2 … pn …xi)trong đó, 1. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X có dạng:Ø FX(x) = ; x Î R.Nếu ta sắp xếp các giá trị x1, x2,...,xn,... theo thứ tự tăng dần, tức là x1< x2 Ví dụ 3.4. Một túi chứa 8 tấm thẻ đỏ; 4 tấm thẻ vàng và 2 thẻ xanh. Chọn ngẫunhiên ra 2 tấm thẻ. Giả sử mỗi thẻ vàng chọn ra được 2 điểm; mỗi thẻ đỏ bị trừ đi1 điểm và thẻ xanh không có điểm. Gọi Y là số điểm tổng cộng trong số 3 thẻ đượcrút ra. Tìm phân phối xác suất của Y.Giải. X nhận các giá trị -2; -1; 0; 1; 2; 4. Ta có P(chọn 2 thẻ đỏ) P(chọn 1 thẻ đỏ +1 thẻ xanh) P(chọn 2 thẻ xanh) P(chọn 1 thẻ đỏ +1 thẻ vàng) P(chọn 1 thẻ vàng+1thẻ xanh) P(chọn 2 thẻ vàng)Vậy bảng phân phối xác suất của X làX -2 -1 0 1 2 4P4. Biến ngẫu nhiên liên tụcĐịnh nghĩa 4.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếuhàm phân phối của nó có dạngF(x) = , x Î R.Hàm dưới dấu tích phân f(x) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X.Tính chất 4.2. f(x)   P(X = x) = 0  tại các điểm liên tục của f(x).   =Ví dụ 4.3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = ,a- Tìm a và xác định hàm phân phối F(x).b- Tính P(-1 £ X < 1).Giải. a- Ta có .* Hàm phân phốiF(x) = =b- P[- 1 £ X < 1] = F(1) – F(-1) = =Ví dụ 4.4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác định bởia- Tìm k và xác định hàm phân phối F(x).b- Tính P( X > 0,5).Giải. a- Ta có => k = 6.* Hàm phân phối b- P(X > 0,5) = Ví dụ 4.5. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác định bởiTìm a và xác định hàm mật độ f(x).Giải. Do hàm F(x) liên tục tại điểm x = 0 nên 0 = F(0) = 1 – a => a = 1.Cóf(x) = F’(x) =