Bộ điều khiển Pid bền vững cho hệ thống tay máy Robot

Bài viết Bộ điều khiển Pid bền vững cho hệ thống tay máy Robot trình bày: Phương pháp thiết kế bộ điều khiển của bộ PID bền vững để áp dụng vào điều khiển các hệ phi tuyến nhiều đầu vào - nhiều đầu ra có các thành phần tác động không định,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bộ điều khiển Pid bền vững cho hệ thống tay máy Robot BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT NGUYỄN VĂN MINH TRÍ Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng LÊ VĂN MẠNH Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh Tóm tắt: Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển của bộ PID bền vững để áp dụng vào điều khiển các hệ phi tuyến nhiều đầu vào - nhiều đầu ra có các thành phần tác động không định. Các tham số của bộ điều khiển PID được xác định bằng công thức mới sử dụng ngưỡng thay đổi của các thành phần không xác định và nhiễu bên ngoài. Sự hội tụ của hệ thống được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Kết quả mô phỏng trên tay máy hai bậc tự do chứng tỏ tín hiệu điều khiển không còn hiện tượng rung và sai lệch tĩnh của hệ thống hội tụ về không.   1. ĐẶT VẤN ĐỀ Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng điều khiển vì tính đơn giản và hiệu quả của nó. Ba thông số của bộ điều khiển là: hệ số tỉ lệ KP, hệ số tích phân KI và hệ số vi phân KD, việc chọn các thông số này cho phù hợp với hệ thống cần điều khiển là khó khăn. Trong những năm gần đây, đã có sự quan tâm sâu rộng trong tự điều chỉnh ba thông số của bộ điều khiển. Các phương pháp tự điều chỉnh PID dựa trên các kỹ thuật phản hồi thông tin [1, tr. 2]. Bộ điều khiển PID bền vững là một trong những chiến lược để giải quyết vấn đề điều khiển với hệ thống không xác định. Tính năng chính của PID bền vững là giúp hệ thống ổn định nhanh với sự biến đổi các tham số và những nhiễu bên ngoài tác động. Ứng dụng khác nhau của PID bền vững này có thể được áp dụng điều khiển cho các hệ thống như: hoạt động của robot, máy bay, hệ thống không xác định... Trong bài báo này, bộ điều khiển PID bền vững được đưa ra cho hệ thống không xác định nhiều đầu vào và nhiều đầu ra (MIMO) như tay máy robot. Mục đích là để hệ thống đạt được sự ổn định nhanh với sự biến đổi tham số và những nhiễu bên ngoài tác động. Trong nghiên cứu này, các thông số PID được xác định theo các hệ số Kconst, C, I và φ. 2. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Xét một hệ thống phi tuyến MIMO biểu diễn phương trình trạng thái của tay máy q!! = a(q,q!!) + B(q)u + d (t ), (1) trong đó u ∈ R n là vectơ các lực tổng quát, q ∈ R n là vectơ các biến khớp, B(q) là ma trận nghịch đảo của ma trận môment quán tính tay máy H (q ) = H T (q ) > 0,H (q )∈ R n×n , Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(14)/2010: tr. 5-15 6 NGUYỄN VĂN MINH TRÍ - LÊ VĂN MẠNH a(q,q!!) = H −1[C (q,q! )q! + g (q )] với C (q,q! )q! ∈ R n là vectơ lực coriolis và lực ly tâm, g (q )∈ R n là vectơ lực trọng trường, d ∈ R n là vectơ nhiễu không xác định. Giả thuyết rằng: ⎧ a ≤ A ⎪⎪ −1 ⎨ B = H ≤ H , ⎪ ⎪⎩ d ≤ D (2) Gọi qd ∈ R n là vectơ quỹ đạo mong muốn và e = qd − q;e! = q!d − q! là vectơ sai lệch bám và đạo hàm của chúng. Chọn σ i = Ci ei + e!i , trong đó C = diag (C1,C2 ,...,Cn ); Ci ∈ R; Ci > 0; i = 1,...,n u = K sgn(σ ), Chọn (3) trong đó K = diag (K1,K 2 ,...,K n ); Ki = K > 0; i = 1,...,n T sgn(σ ) = [sgn(σ1 ),sgn(σ 2 ),...,sgn(σ n )] Định lý 1: Cho hệ thống (1) thỏa mãn giả thiết (2) với u chọn theo (3), trong đó K = H (A + D + η + Ce! + q!!d ); η > 0 , thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0. Chứng minh: Đạo hàm của σ là: σ! = Ce! + q!!d − q!! ⇔ σ! = Ce! + q!!d − a(q,q!!) − B(q )K sgn(σ ) − d (t ). 1 T σ σ ≥ 0⇒ 2 V!3 = σ T .σ! = σ T (Ce! + e!!) = σ T [Ce! + q!!d − a(q,q!!) − B(q )K sgn (σ ) − d (t )] Chọn V3 = [ ] V!3 = σ T B(q ) B −1 (Ce! + q!!d − a(q,q!!) − d (t )) − K sgn(σ ) V! ≤ σ T B(q )sgn(σ )[ H ( Ce! + q!! + a(q,q!!) + d (t ) ) − K ] 3 d Rõ ràng V!3 ≤ 0 nếu K ≥ H (A + D + η + Ce! + q!!d ) với η là hằng số dương nhỏ bất kỳ. 1 T σ σ ≥ 0 có V!3 ≤ 0 , sẽ đảm bảo hệ thống 2 có σ→0. Khi σ = 0 = Ce+ e! tương đương với Ci ei + e!i = 0; i = 1,..., n . Với Ci > 0 thì ei → 0 khi t→∞ mà tốc độ hội tụ phụ thuộc vào giá trị của Ci. Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì: V3 = Nhận xét 1: Từ định lý 1 ta thấy rằng e → 0 khi e! → 0 và !q! d có giới hạn vì tính chất vật lý của hệ thống. Nên có thể tìm được một hằng số E sao cho: Ce! + q!!d ≤ E (4). Từ đó ta có thể chọn K = (A + D + η + E )H là hằng số. BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀ VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT 7 Hệ quả : Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) thỏa mãn, u chọn theo (3), trong đó: K = ( A + D + η + E )H = Kconst , (5) thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0. Nhận xét 2: Từ luật điều khiển (3), ta có thể xây dựng một luật điều khiển PID như sau: T u = [u1,u2 ,...,un ] , khi σ i < −φi ⎧− K const ⎪ t K const Ci .I i ⎪ K const .Ci + I i ui = ⎨ .ei + .e!i + ei dt φi φi φi ∫0 ⎪ ⎪ K khi σ i > φi ⎩ const Giả thiết rằng: Với mọi lim qd (t ) = qconst t →∞ khi (6) − φi ≤ σ i ≤ φi i = 1,...,n , lim q!d (t ) = 0 , t →∞ lim d (t ) = dconst . t →∞ Cho mỗi cặp (qconst, dconst), luôn tồn tại một điểm cân bằng [qconst,0]T và một tín hiệu điều khiển tĩnh u sao cho đảm bảo ổn định: 0 = a(qconst ,0) + B(qconst )u + d const . (7) Định lý 2: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) và (7) thỏa mãn và một luật khiển (6) với K chọn như (5) thì điểm cần bằng của hệ thống kín, [q,q! ]T = [qconst ,0]T , là ổn định toàn cục. Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh bằng 2 phần. Phần 1 sẽ chứng minh rằng với tham số bộ điều khiển được chọn sẽ mang quỹ đạo hệ thống vào một vùng lân cận nhỏ bất kỳ quanh điểm cân bằng [q,q! ]T = [qconst ,0]T . Phần tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tham số của bộ điều khiển được chọn sẽ đảm bảo sự ổn định toàn cục của điểm cân bằng. * Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i - Khi σ i > φi thì ui = Kconst.sign(σi), do đó theo hệ quả 2 thì trạng thái hệ thống sẽ được { } đẩy vào bên trong một lớp biên Li = qi σ i ≤ φ . i - Khi σ i ≤ φi , σ i = Ci ei + e!i => e!i = −Ci ei + σ i Tồn tại một số Mi sao cho Mi.(-Ci) + (-Ci).Mi = - 1 => Mi = 1 . 2Ci Chọn V4 = Mi.ei2 ⇒ V!4 = −2.M i .Ci .ei 2 + 2.M i .ei .σ i 2 ⎛ φ ⎞ 1 φ 2 2 V!4 ≤ −ei ...