Bộ lọc Kalman tuyến tính

Bài toán ước lượng trạng thái của hệ động lực là một trong những bài toán quan trọng trong lý thuyết điều khiển, có nhiều ứng dụng trong khoa học cũng như trong thực tiễn. Đối với các hệ động lực ngẫu nhiên, nhiều nhà khoa học đã đề xuất phương pháp sử dụng bộ lọc Kalman và các ứng dụng của nó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bộ lọc Kalman tuyến tính ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN BỘ LỌC KALMAN TUYẾN TÍNH LINEAR KALMAN FILTERNgày nhận bài : 15/11/2021 ThS. Đặng Thị Kiêm HồngNgày nhận kết quả phản biện : 17/12/2021 Trường Đại học Tài chính - Kế toánNgày duyệt đăng : 22/12/2021 TÓM TẮT Bài toán ước lượng trạng thái của hệ động lực là một trong những bài toán quan trọng trong lý thuyếtđiều khiển, có nhiều ứng dụng trong khoa học cũng như trong thực tiễn. Đối với các hệ động lực ngẫunhiên, nhiều nhà khoa học đã đề xuất phương pháp sử dụng bộ lọc Kalman và các ứng dụng của nó.Bài viết giới thiệu những vấn đề cơ bản về bộ lọc Kalman tuyến tính, làm rõ quy trình hoạt động của bộlọc thông qua ví dụ trong không gian một chiều và hai chiều. Việc hiểu rõ quy trình hoạt động của bộlọc sẽ làm nền tảng cho những nghiên cứu chuyên sâu về lọc Kalman cũng như những ứng dụng của bộlọc trong kinh tế, tài chính. Từ khoá: Bộ lọc Kalman, lý thuyết cơ bản về bộ lọc Kalman. ABSTRACT The problem of state estimation of the dynamic system is one of the important problems in control theory,which has many applications in science as well as in practice. For stochastic dynamical systems, manyscientists have proposed the method of using Kalman filter and its applications. The article introduces thebasics of linear Kalman filters, and clarifies the filter’s operation through examples in one-dimensionalspace and two-dimensional space. Understanding the filter’s working process will be the foundation forin-depth studies on Kalman filter as well as its applications in economics and finance. Keywords: Kalman filter, basic theory of Kalman filter. 1. Giới thiệu Trong thống kê và kinh tế học, bộ lọc chỉ đơn giản là một thuật ngữ được sử dụng để mô tả mộtthuật toán cho phép ước lượng đệ quy các tham số không được quan sát, thay đổi theo thời gian hoặcbiến đổi trong hệ thống. [2.] Nó khác với dự báo vì dự báo được đưa ra cho tương lai, trong khi bộ lọcthu được các ước lượng về các tham số không thể quan sát được trong cùng khoảng thời gian với tậpthông tin. Bộ lọc Kalman được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1960 bởi Rudolf E. Kalman (1930 –2016), một kỹ sư điện, nhà toán học, nhà phát minh người Mỹ gốc Hungary. Bộ lọc Kalman là mộtbộ lọc tuyến tính đệ quy, lần đầu tiên được phát triển như một bộ lọc rời rạc để sử dụng trong các ứngdụng kỹ thuật và sau đó được sử dụng bởi các nhà thống kê và các nhà kinh tế lượng. Bộ lọc Kalmanlà một công cụ mạnh mẽ kết hợp thông tin không chắc chắn ở thời điểm hiện tại cùng với thông tinđầy nhiễu loạn của môi trường sang một dạng thông tin mới đáng tin cậy hơn để phục vụ dự đoántương lai. Bộ lọc sử dụng quan sát hiện tại để dự đoán giá trị không thể quan sát của kỳ tiếp theo vàsau đó sử dụng thời gian thực hiện tiếp theo để cập nhật dự báo đó. Bộ lọc Kalman tuyến tính là tốiưu, tức là công cụ ước tính trung bình bình phương sai số nhỏ nhất nếu các biến quan sát và nhiễutuân theo phân phối Gauss. Mặt khác, nó là tốt nhất trong số các loại bộ lọc tuyến tính. Điểm mạnhcủa bộ lọc Kalman là chạy rất nhanh và tính ổn định cao. 97TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN Bài viết sẽ giới thiệu bộ lọc Kalman tuyến tính, làm rõ quy trình hoạt động của bộ lọc trong trườnghợp một chiều và hai chiều ở mục 2. Sau đó bài viết giới thiệu bộ lọc Kalman tổng quát ở mục 3 vàcuối cùng là kết luận. 2. Ý tưởng cơ bản của bộ lọc Kalman 2.1. Trường hợp biến ngẫu nhiên một chiều Trước hết ta sẽ xem xét bộ lọc Kalman đơn giản trong không gian một chiều.[6.] Kí hiệu giá trịKalman đạt được là KG (Kalman Gain), sai số trong ước lượng là EEST (error in estimate), sai số trongđo lường là EMEA (error in measurement), giá trị ước lượng hiện tại là ESTt (current estimate), giá trịước lượng trước đó là ESTt −1 (previous estimate), giá trị đo lường là MEA (measurement), EESTt làsai số trong giá trị ước lượng hiện tại, EESTt −1 là sai số trong giá trị ước lượng trước đó. Cách thức hoạtđộng của lọc Kalman là lặp đi lặp lại quy trình gồm 3 bước: EEST • Bước 1: Tính KG = . EEST + EMEA • Bước 2: Tính ESTt = ESTt −1 + KG [ MEA − ESTt −1 ] . ( ( EMEA ) EESTt−1 ) • Bước 3: Tính EESTt = = [1 − KG ] EESTt −1 . ( ) ( ( EMEA ) + EESTt−1 ) ...