Bổ túc về giải tích tổ hợp

Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung một số các tính chất nhất định nào đó. Mỗi đối tượng thuộc tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp.Các ví dụ về tập hợp:- Tập hợp sinh viên trong trường đại học nào đó.- Tập hợp N mọi số tự nhiên.- Tập hợp R mọi số thực.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bổ túc về giải tích tổ hợp Bổ túc về Giải tích Tổ hợp Nguồn: thunhan.wordpress.com1. TẬP HỢP:Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung một số các tính chất nhất định nàođó. Mỗi đối tượng thuộc tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp.Các ví dụ về tập hợp:- Tập hợp sinh viên trong trường đại học nào đó.- Tập hợp N mọi số tự nhiên.- Tập hợp R mọi số thực.Muốn xác định một tãp hợp, có thể dùng một trong hai cách:a) Liệt kê mọi phần tử của nó, chẳng hạn: A = {a, b, c, d} là tập hợp bốn chữ cáiđầu tiên của bảng chữ cái tiếng Việt.b) Chỉ ra một đặc tính đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.Thí dụ: là tập hợp số thực thỏa mãn tính chất .Tập hợp có số phần tử hữu hạn được gọi là tập hợp hữu hạn. Còn tập hợp có sốphần tử là vô hạn được gọi là tập hợp vô hạn.Tập hợp vô hạn được chia làm hai loại:- Tập hợp vô hạn đếm được. Thí dụ: tập hợp tất cả các số nguyên dương: 1, 2, 3,…- Tập hợp vô hạn không đếm được. Thí dụ: tập hợp tất cả các điểm của mộtđường thẳng, tập hợp tất cả các số thực trong khoảng (0, 2) là những tập hợpkhông đếm được.2. QUY TẮC NHÂN:Quy tắc nhân được phát biểu như sau:Một công việc nào đó được chia làm hai giai đoạn, có n1 cách hoàn thành giaiđoạn I và có n2 cách hoàn thành giai đoạn II. Khi đó sẽ có tất cả: n = n1.n2 cáchhoàn thành công việc.Thí dụ: Ta muốn đi từ vị trí A đến vị trí B. Trên đường đi ta muốn ghé qua vị trí C.Có 2 cách đi từ A đến C và có 3 cách đi từ C tới B. Ki đó ta có tất cả n = 2.3 = 6cách đi khác nhau từ A đến B.Một cách tổng quát, ta phát biểu quy tắc nhân:Giả sử một công việc nào đó được chia làm k giai đoạn. có n1 cách hoàn thànhgiai đoạn thứ I, có n2 cách hoàn thành giai đoạn thứ II,…, có nk cách hoàn thànhgiai đoạn cuối cùng. Khi đó sẽ có tất cả: cách hoàn thànhcông việc.3. CHỈNH HỢP:3.1. Định nghĩa:Chỉnh hợp chập k của n phần tử ( ) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tửkhác nhau được chọn từ n phần tử đã cho.Thí dụ: cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử đó là: 23, 25, 32,35, 52, 53.Như vậy từ n phần tử ta có thể tạo nên nhiều chỉnh hợp chập k khác nhau. Chỉnhhợp này khác chỉnh hợp kia hoặc bởi có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc chỉ dothứ tự sắp xếp.Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là:3.22. Công thức tính: (1.1)Trong đó: n! = n(n -1)(n -2) … 2.1 ; 0! = 13.3 Thí dụ: Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cáchxếp thời khóa biểu trong mỗi ngày.Giải: Vì mỗi cách xếp thời khóa biểu trong một ngày là việc ghép 2 môn trong số6 môn học. Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếptrước sau giữa hai môn. Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 từ6 phần tử.Do đó có tất cả: cách4. CHỈNH HỢP LẶP:4.1 – Định nghĩa:Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ nphần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, …, k lần trong nhóm tạothành.Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp, nên k có thểlớn hơn n. Chẳng hạn cho ba phần tử 2, 3, 5. Các chỉnh hợp lặp chập 2 của baphần tử sẽ là:22 23 2532 33 3552 53 55Số chỉnh lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là:4.2 – Công thức tính:Ta thành lập công thức tổng quát để tính . Muốn vậy ta lập luận như sau: để cómột chỉnh hợp lặp chập k ta có thể chọn phần tử thứ nhất theo n cách. Phần tử thứhai cũng có n cách chọn … phần tử thứ k cũng có n cách chọn ( vì mỗi phần tử cóthể chọn lại nhiều lần). Vì vậy theo quy tắc nhân ta có: n . n … n = cách thành lậpmột chỉnh hợp lặp chập h khác nhau từ n phần tử đã cho.Do đó: (1.3)4.3 Thí dụ: Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số 1… 2 … 9. Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu máy.Giải: Ở đây mỗi số của máy là một chỉnh hợp lặp chập 3 từ 9 phần tử đã cho. Vậycó thể đánh số được: máy.5. HOÁN VỊ:5.1 – Định nghĩa:Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử đã cho.Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là5.2 – Công thức tính:Theo định nghĩa ta thấy các hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau bởi thứ tự sắp xếpgiữa các phần tử mà thôi. Một hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợpchập n của n phần tử. Do đó:Vậy (1.4)5.3 Thí dụ: Một bàn có 4 học sinh ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi?Ta thấy mỗi cách xếp chỗ cho 4 học sinh là một hoán vị của 4 phần tử. Do đó sốcách sắp xếp là: cách6. TỔ HỢP:6.1 – Định nghĩa:Tổ chập k của n phần tử ( ) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phầntử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là6.2 – Công thức tính:Từ định nghĩa tổ hợp ta thấy tổ hợp cũng chính là một chỉnh hợp (không lặp).Nhưng các chỉnh hợp nếu chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp của các phần tử đượccoi như cùng một tổ hợp mà thôi.Giả sử từ n phần tử ta có thể thành lập tổ hợp chập k khác nhau. Ta đem hoán vịcác phần tử trong các tổ hợp này thì mỗi tổ hợp sẽ tạo ra k! chỉnh hợp, mà ta có tấtcả tổ hợp. Vậy ta có đẳng thức:6.3 Thí dụ: Có mười đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn mộtlượt (tức hai đội bất kỳ trong mười đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận).Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu.Giải: Ta thấy mỗi trận đấu giữa hai đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử(vì hai đội thi đấu với nhau thì không cần phân biệt thứ tự). Do đó số trận đấu cầntổ chức là:6.4 – Các tính chất của tổ hợp:1)Chứng minh:2)3)7. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:Nhị thức Newton là lũy thừa bậc nguyên dương của tổng hai số hạng trongđó a, b là hằng số thực tùy ý, n = 1, 2, 3, … ...