Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Hình học lớp 12: Phần 2

Tiếp nội dung phần 1, cuốn sách "Phương pháp giải các chủ đề căn bản Hình học 12" Phần 2 do tác giả Lê Hoàng Phò biên soạn, trình bày các nội dung chính như sau: phương trình mặt cầu; phương trình mặt phẳng; phương trình đường thẳng; tương giao của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu; góc và khoảng cách toạ độ. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Hình học lớp 12: Phần 2o CHỦ Đ Ể X P M ư ơ N G T R ÌN M M ỘT cá ci DẠNG TOÁN L Ậ P PHƯƠNG TRÌN H M Ạ T C Ầ U 1. Phương trình mặt cầu (S) tâm ỉ(ui b, c) bản kính R: (x - a f + (y - h f + (z - c f = Phưcxng trình X + * z‘ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, với điều kiện A ^ + ờ - D > 0 ỉà mặt cầu (S) cótâm Ỉ(-A, -B, -C) vù bản kỉnh R = vlA~ + B + c ^ - D . Chú ý: ỉ) Tăm đường tròn I(x;y;z) ngoại tiếp tam giác ABC trong không gian: ịỉA = IB = IC Ị / e {ABC) 2) Tâm I(x;y;z) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm cách đều 4 đỉnh: ( ,. r AI^ = BÍ- ^2 „,2 ỈA = IBỈA=IB=IC=ID Giải a) Phương trình mặt cầu tâm l(a; b; c), bán kính R; (x - a)^ + (y - b)^ + (z - c)^ ■ Mặt cầu có tâm 1(3; -2; 1) và đi qua điểm A(2; -1; -3) nên bán kính R = lA = 3 V2 , do đó phương trình mặt cầu: (x-3)^ + ( y + 2)^ + ( z - 1 ) ^ = 18. b) Mặt cầu nhận AB làm đường kính nên tâm I là trung điểm của AB, do đó1(1; 1; 1) và có bán kính R = — = - V l 00 + 4 + 144 = V ^ 2 2 Phương trình mặt cầu: (x - I )^ + (y - 1)^ + (z - 1)^ = 62. hay: x^ + y^ + z^ - 2x - 2y - 2z - 59 = 0Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu: a) Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz). b) Có đường tròn lớn là dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(0; -2; 1),B(-1;0; 1), C(0;0; -Ĩ). Giải a) Tâm I của mặt cầu nằm trên mp(Oyz) nên 1(0; b;-c). [lA- =1B- í(8-b)- +c = 4 + ( 6 - b ) + ( 2 - c ) Ta có lA lA = IC- ^ [ ( 8 - b ) - + c = ( 1 2 - b ) + ( 4 - c ) Giải ra được b = 7 và c = 5. Do đó 1(0; 7; 5), R = lA = VO + 1 + 25 = ^ 2 6 . Phương trinh mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: (x - ã ỷ + (y - b)^ + (z - c)^ R^ Vậy mặt cầu có phương trình: x^ + (y - 7Ý +(z - 5)^ = 26. b) Gọi I(x; y; z) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: AB = (-1; 2; 0), AC = (0; 2; -2), Aỉ={x; y+ 2; z - 1) =í>[ÃB,ÃC] = (-4 ;2 ;-2 ) nênl e(A B C) o [ Ã B , Ã C ] J Ì = 0 o 2x-y + z-3 = 0 íx = l AI = BI - 2 x + 4y = -3 1 Ta có • AI = C I « ■ y - z = - l Cí> “ 4 I e (ABC) -2 x + y - z = -3 3 z=— 4182 3^ nên tâm và bán kính R = AI = 4’4 Vậy PT mặt cầu là (x - 1)^ + (y + -)^ + { z -~ Ý = — .Bài toán 4: Lập phương trình mặt cầu: a) Có bán kính bàng 2. tiếp xúc với mặt phang (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox. b) Có tâm 1(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz). Giải a) Vì tâm 1 của mặt cầu nằm trên tia Ox và mặt cầu tiếp xúc với mp(Oyz) nênđiềm tiếp xúc phải là o , do đó bán kính mặt cầu là R = 10 = 2 và 1(2; 0; 0). Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x - a ) + ( y - b ) + ( z - c ) = R Vậy mặt cầu có phương trình: (x - 2) + y^ 4 - = 4. b) Vì mặt cầu có tâm 1(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz) nên bán kính R củamặt cầu bàng khoảng cách từ 1 tới mp(Oyz). I I . Do đó R = X = 1i Mặt cầu có phương trình; (x - 1)^ + (y - 2Ý + (z - 3)^ = 1.Bài toán 5: Cho A(l; 2; -4), B(l; -3; 1), C(2; 2; 3), D(l; 0; 4). Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Giải Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại liếp tứ diện IA = IB AI- = B I - y + z = -1 X = -2 b) Gọi (S) là mặt cầu đối xứng của (S) qua mp(yOz) thì (S) có tâm I(2; -4; 1) và R = R = 5 nên có phương trình: (S): (X - l f + (y + AỸ + (z - 1)^ = 25.Bài toán 7: Cho điếm A(3; 0; 0), B(0; 4; 0). Lập phương trình mặt cầu có tâm là hình chiếu H của gốc o lên đường thẳng AB và bán kính R = —. Giải Ta có A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy. Trong tam giác AOB: AO^ = AH.AB OA AH OA AH = AB AB AB 25 9 ( 27 36 D o đ ó A H = ~ A B = - — ; — ;0 H 25 1 25 25 ^ ’ 25 36 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm: + +z =— 25 ^ 25Bài toán 8: Cho điểm A(l; -1; 2) và B(2; 0; 1) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho m a + M B = 3. Giải Gọi M(x; y; z). Ta có: MA + MB = 3(1 - x ) + (-1 -y ) + (2 - z ) + ( 2- x) + y + (l -z ) = 3. x + y + z - 3x + y - 3z + 4 = 0. o (x - - + (y + - )2 + _ 2 2 2 4 3 1 3 -\/3 Vậy quỹ tích các điểm M là mặt cầu có tâm I( 4 4 ; 4 ) và bán kính R = ^ . 2 2 2 2Bài toán 9: Cho tứ diện với các đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA + MB +MC + MD = 4. Giải Gọi M(x; y; ...