Bồi dưỡng kiến thức học sinh giỏi phương trình hàm: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi phương trình hàm, phần 2 giới thiệu tới người đọc các kiến thức: Phương trình hàm trên N, Z, Q; sử dụng dãy số để giải một số dạng phương trình hàm, một số phương trình hàm tổng quát, bất phương trình hàm. Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bồi dưỡng kiến thức học sinh giỏi phương trình hàm: Phần 2So s a n h h§ so c i i a l i i y t h f r a cao n h a t d h a i ve c u a ( 1 ) , t a dxxac: > G i a i . G i a suf d e g ( P ) = n . So sanh bac c i i a h a i ve c i i a (1) t a t h u d u ^ c a „ 2 = 8a„ 2 = 2^ o n = 3.V a y p{x) l a d a thiltc bac b a . T (1) l a y x = - 1 0 , t a dUdc: p ( - 4 ) = 0. T i t (1)lay X = - 2 , t a diWc: - 4 8 p ( 4 ) = 8 p ( - 4 ) = 0 p ( 4 ) = 0. T t r (1) l a y x = 4, t a , K h i n = 0, t a dUdc d a t h i i c h t o g P ( x ) = c. T h a y vho (1) t h u dUdcdUdc: 14p(8) = O.p(lO) = 0. NhiT vay: p{x) = a{x - 4)(a: + 4)(a; - 8 ) , V x e R. c = c = 0Do = 210 n e n : 105a = 210 jhay van (4) t h u ditdc o = ;•!xuat hieii d a„(x^ - 4x + 1) + n„-i(.T2 - 4x + ma a„ = 4, a„_i e Q a „ ( 2 x ) + 6„_i(2x)~i + • • • + 6,(2x) + 60 iieii an-2 G Q- Lap luaii tUUiig t u dan den P{x) G Q[x]. Xet a = ^ ^ J ^ ^ - =2 (a„x + ? > „ - I . T - I + • • • + ^ix + /;o), Vx e R. (5) K h i do a = a^ - 4a + 1. Trong (1) lay x = a t a dUdc Tit (5), dong nhat he so ta ditdc P(a) = 2 + ^/5, u [P(a)]2 _ 1 = 4 P { a ) ^ [ P ( « ) P - 4 P ( a ) - 1 = 0 ^ P(a) = 2 - x/5. 2-*=6„_fc = 26„_fc,Vfc = l , 2 , . . . n , ., hay bn-k = 0, VA; = 1. 2 , . . . n . V i the Q(x) = a„x, Vx e R, suy r a Do P(x) e Qx] nen P(«) = P ( ^ ^ ) = P + ^^^ ^^^^^ P ( x ) = « „ ( x - 1), Vx e R. hfm t i . Vay khong t h l xay ra P(a) = 2 + ^ 5 , vi n^u P(a) = 2 + ^ 5 t h i T h i i lai thay thoa man. Vay t a t ca cac da thiic thoa man yen cau de bai la ,5 = _ 2)2 + 21f/ + 2(p - 2)QX/21 =^ N/2T € Q ( V O l i ) . P ( x ) = a{x - 1), Vx € R ( a la hang so t u y y, n 6 N ) . Tiroiig ti.r. cfmg khong tli2 t h i tft (3) suy ra n + 2m = 2n + m m = n , mau thuan. P ( x ) [ 2 P ( x 2 ) + R{x^)] = P ( x 2 ) [2P(x) + R{x), Vx € R • Gia siif m = 1. K h i do deg {R{x) - 4x) = A; < 1. T i t (3) t a co Vdi t e { 0 , 1 , 2 , . . . , n } , gia sijf .„„^ * A. . . • • , < . ,T i t (5) t a c6 6 - 7.3 - 4.2* + 5 = 0 3*(2 - 7) - 4(2 - 7) = 23 ^ ( 3 - 4)(2 - 7) = 23 ^ { 3; - 4 = 23 ^ j = 3. a(2x + 1)^ + 6(2x + 1) + c = A{ax^ + 6x + c) + 4x - Ac, V i € R. Dong nhat he so t a dudc { ^^++5^^ = i K e t hdp vdi tren t a dudc he V$,y ket h(?p vdi (4) ta suy ra: k h i i G { 0 , 1 , 2 , . . . , n } } t h i Oj = 0. Bdi vay ...