CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ

Bài tập minh họa Toán cực trị trong không gian tọa độ
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ BÀI TOÁN 4 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) x = 1 − t Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) :  y = −2 + t . Viết phương trình mặt z = 2 t p phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất. Lời giải tham khảo.Cách 1: Phương pháp hình học. Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy. Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình ∧ chiếu của M trên d. ta có : MAK = α = (d, Oy) .Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∧ MK MH (P) thì MAH = β = (d , P) = (Oy, P) . Như thế : sin α = ; sin β = .Trong tam giác AM AM vuông MHK thì MH ≤ MK ⇒ sin β ≤ sin α ⇒ max β = α khi H ≡ K . Vậy mặt phẳng (P) cầntìm vuông góc với MK tại K. → Giải: A(1;-2;0) thuộc d. Đường thẳng Oy có véctơ chỉ phương j = (0;1;0) ; nên nếu d’ qua A x = 1  và song song với Oy thì d’ có phương trình là  y = −2 + t . Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ thì hình z = 0  5 11 1 → 1 5 2 chiếu vuông góc của M trên d là K ( ;− ; ) ⇒ MK = (− ;− ; ) . Chọn véctơ pháp tuyến 6 6 3 6 6 6) → của (P) là n = (1;5;−2) 5 11 1 Phưong trình mặt phẳng (P): 1( x − ) + 5( y + ) − 2(z − ) = 0 6 6 3 Kết quả: (P): x+5y-2z+9= 0. Cách 2: Phương pháp giải tích. ( Lấy M(1;-2;0) ∈ d ; N(0;-1;2) ∈ d. Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0 A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ) D = − A + 2 B  A−B Do M và N thuộc (P) nên:  A−B ⇒ (P) : Ax + By + z + 2B − A = 0 . C= 2  2 → A−B → Ta có VTPT của (P) là n = (A; B; ) và VTCP của Oy là j (0;1;0) . 2 → → n . j B 2B Gọi α = (P, Oy) thì sin α = = = → →  A − B 2 5A 2 + 5B 2 − 2AB n . j A +B + 2 2   2  +Nếu B=0 thì sin α = 0 ⇒ α = 00. 2 2 A sin α = = (x = ) +Nếu B ≠ 0 thì A 2 A 5x − 2 x + 5 2 B 5  + 5 − 2  B B 4 Xét hàm số f ( x ) = sin α = 2 . 5x − 2 x + 5 2 ...