Các công thức xác suất trong môn xác suất thống kê - 1

Các công thức xác suất1.1. Xác suất điều kiện - Công thức xác suất của biến cố tích - Sự độc lập của các biến cố 1.1.1 Xác suất điều kiện.Trong nhiều trường hợp, một vấn đề được đặt ra là: ta có thể nói gì về xác suất của biến cố A nếu có thông tin biến cố B nào đó (liên quan tới A) đã xảy ra? Trong những trường hợp đơn giản nhất, câu trả lời khá dễ dàng. Chẳng hạn, nếu A và B xung khắc thì A không thể xảy ra, vì vậy xác suất...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các công thức xác suất trong môn xác suất thống kê - 1 Các công thức xác suất1.1. Xác suất điều kiện - Công thức xác suất của biến cố tích - Sự độc lập của cácbiến cố Xác suất điều kiện1.1.1 Trong nhiều trường hợp, một vấn đề được đặt ra là: ta có thể nói gì về xác suấtcủa biến cố A nếu có thông tin biến cố B nào đó (liên quan tới A) đã xảy ra?Trong những trường hợp đơn giản nhất, câu trả lời khá dễ dàng. Chẳng hạn, nếu Avà B xung khắc thì A không thể xảy ra, vì vậy xác suất để A xảy ra bằng 0.Trường hợp khác, nếu thì A chắc chắn xảy ra nên xác suất của nó bằng 1.Vấn đề còn lại, nếu B đã xảy ra chỉ cho ta một phần thông tin về phép thử (tức choA) thì khi đó P(A) được xác định thế nào. Khái niệm xác suất điều kiện sẽ được sửdụng cho trường hợp này.Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian xác suất (W, , P) và B với P(B) > 0. Khiđó với biến cố A bất kỳ, xác suất điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố Bđã xảy ra, ký hiệu được xác định bởiDễ chứng minh được nếu B với P(B) > 0 thì là một độ đo xácxuất. Từ đó ta nhận đượcTính chất 1.1.2.* .** .*Ví dụ 1.1.3. Một hộp có 6 chiếc bút xanh; 5 bút đỏ và 9 bút đen. Chọn ngẫu nhiênra 1 chiếc bút thì thấy đó không phải là bút đen. Tính xác suất để bút chọn ra là bútxanh.Giải. Đặt A là biến cố “Chọn được bút xanh” và B là biến cố “chọn được bútkhông phải là bút đen”. Ta cần tìm Do AB = A nên Công thức xác suất của biến cố tích1.1.2Từ định nghĩa xác suất điều kiện ta suy ra Mở rộng cho trường hợp tổng quát ta nhận đượcVí dụ 1.1.4. Một lô sản phẩm gồm có 100 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm.Kiểm tra liên tiếp không hoàn lại 4 sản phẩm, nếu thấy có ít nhất 1 phế phẩm thìkhông nhận lô hàng. Tính xác suất để lô hàng được nhận.Giải. Đặt Ai là biến cố “sản phẩm kiểm tra thứ i là sản phẩm tốt”, i = 1, 2, 3, 4 vàA là biến cố “lô hàng được nhận”. Ta cóP(A) =Ví dụ 1.1.5. Một cuộc thi có 3 vòng thi. Vòng 1 lấy 90% thí sinh; vòng 2 lấy 80%thí sinh của vòng 1 và vòng 3 lấy 60% thí sinh của vòng 2. Tính xác suất để mộtthí sinh bị loại ở vòng 2 nếu biết rằng thí sinh đó bị loại.Giải. Ký hiệu Bi là biến cố “thí sinh đỗ ở vòng thi i”, i = 1, 2, 3 và B là biến cố“thí sinh vượt qua cả 3 vòng thi”. Ta cần tính . CóTừ đó . Sự độc lập của các biến cố1.1.3Định nghĩa 1.1.6. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếuP(AB) = P(A) . P(B)Từ định nghĩa trên dễ suy ra các kết quả sau Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi  hoặc Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi độc lập hoặc  là độc lập hoặc là độc lập.Định nghĩa 1.1.7. Dãy n biến cố B1, B2,..., Bn được gọi là* Độc lập từng đôi nếuP(BiBj) = P(Bi) . P(Bj) với mọi i j; i, j =* Độc lập trong toàn thể nếu với bất kì 1 i1ngửa”; C là biến cố ”cả hai đồng xu cùng xuất hiện mặt sấp hoặc cùng xuất hiệnmặt ngửa”. Xét tính độc lập của 3 biến cố A, B, C.Giải. Vì không gian mẫu nên ta có . ;Từ đó suy ra A, B, C là các biến cố độc lập từng đôi. Mặt khác, vì A, B, C khôngđồng thời xảy ra nênP(ABC) = 0Vậy các biến cố A, B, C không độc lập trong toàn thể.Để hiểu rõ hơn về tính độc lập của các biến cố, xét các ví dụ sauVí dụ 1.1.9. Gieo đồng thời 2 xúc xắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu A là biến cố”Tổng chấm xuất hiện trên 2 xúc xắc là 7”; B là biến cố” xúc xắc thứ nhất xuấthiện mặt 4 chấm” và C là biến cố” xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 3 chấm”. Chứngminh biến cố A độc lập với các biến cố B, C nhưng không độc lập với biến cố BC.Giải. Ta cóĐể tổng chấm xuất hiện trên 2 xúc xắc là 7 ta có các khả năng sau” (1, 6); (6, 1);(2, 5); (5, 2); (3, 4); (4; 3). Vậy Từ đó suy rahay A, B độc lập. Tương tự A và C cũng độc lập. Tuy nhiên donên A và BC không độc lập.Ví dụ 1.1.10. Ba xạ thủ, mỗi người độc lập bắn 1 viên đạn vào cùng một mục tiêu.Xác suất bắn trúng đích của mỗi người tương ứng là 0,8; 0,75 và 0,7. Tính xácsuất để có đúng một người bắn trúng mục tiêu.Giải. Ký hiệu Ai là biến cố ”người thứ i bắn trúng”, i = 1, 2, 3 và A là biến cố ” cóđúng một người bắn trúng mục tiêu”. Ta có = 0,8.0,25.0,3 + 0,75.0,2.0,3 + 0,7.0,2.0,25 = 0,141.2. Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes Công thức xác suất toàn phần1.2.1Giả sử A1, A2,..., An là một hệ đầy đủ các biến cố và P(Ai) > 0 với mọi i = 1, 2, ...,n. Khi đó với mọi biến cố A bất kỳ ta luôn cóTừ đó, ...