Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm

Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số, giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi: s inx ex 1 lim  1 ; lim 1 x 0 x x 0 x ln(1  x) x  1 1 lim  1 ; lim 1    lim(1  x) x  e x 0 x x 0  x x 0 sin ax 1  cos ax a 2 lim  1;lim  , a  R, a  0 ( * )( cái này có được vì sao? ) x 0 ax x 0 x2 2@ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn 2 1 x  3 8  x Thí dụ 1. Tìm giới hạn T  lim ( ĐHQGHN 1997 ) x 0 xLời giải.Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau 2( 1  x  1) (2  3 8  x )T  lim  lim tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách x 0 x x 0 xnhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá:Đặt u  1  x ; v  3 8  x thì x  u 2  1; x  8  v3 ; u, v  2 . Như vậy chúng ta có thể viết: 2  u  1 2v 2 1 2 1 3T  lim 2  lim  lim  lim    (cách giải này có cái hay là u 2 u  1 v 2 8  v 3 u 2 u  1 v 2 4  2v  v 2 3 12 4chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn). Ưuđiểm hơn qua bài toán sau: 2x 1  5 x  2 4 Thí dụ 2. Tìm giới hạn T  lim ( ĐHSPHN 1999 ) x 1 x 1 7ĐS: T  , 10Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ). Bạn xem n f ( x)  m g ( x)bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé: T  lim số bạn cần tìm là: x a xan f (a)  m g (a) nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đối mặt với một bài toán khóhơn! Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không. 1 1  cos x cos 2 x Thí dụ 3. Tìm giới hạn T  lim x 0 x2Lời giải. Biến đổi và sử dụng công thức ( * ) 1  cos x 1  cos2 x 1  cos x 1  cos2 x 12 22 5T  lim(  cos x. )  lim  lim cos x.    x 0 x2 x2 x 0 x2 x 0 x2 2 2 2 1  cos xco2 x...cos nx 1  2  ...  n 2 2 2Tổng quát: lim  x 0 x2 2 cos x  cos3 x e  cos2 x Thí dụ 4. Tìm giới hạn T  lim 2 x 0 xLời giải. Biến đổi như sau ecos x cos3 x  1 1  cos2 xT  lim(  ) bạn đang gặp lại dạng thêm bớt lúc đầu nhé! x 0 x2 x2Vậy T  T1  T2 với ecos x cos3 x  1  ecos x cos3 x  1 cos x  cos3x  ecos x cos3 x  1  1  cos3x 1  cos x T1  lim  lim  cos x cos3 x .   lim cos x cos3 x    x 0 x2 x 0  x2  x 0  x2 x2  ecos x cos3 x  1 et  1o lim cos x  cos3 x  lim  1;  t  cos x  cos3x  x 0 t 0 t ln(s inx  cos x) Thí dụ 5. Tính giới hạn T  lim x 0 x ln(sinx  cos x) 2 ln(1  sin 2 x) sin 2 x ...