Các định lý và định đề về cơ học lượng tử - Lý Lê

Trong những phần trước, chúng ta đã áp dụng cơ học lượng tử để khảo sát những hệ hóa học đơn giản như hạt chuyển động trong hộp, sự dao động và sự quay của phân tử hai nguyên tử , nguyên tử hydro và giố ng hydro. Trong phần này, chúng ta sẽ tóm tắt những định lí và định đề về cơ học lượng tử
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các định lý và định đề về cơ học lượng tử - Lý LêCác đ nh lí và đ nh đ c a cơ h c lư ng t Lý Lê Ngày 8 tháng 12 năm 2009 Tóm t t n i dung Trong nh ng ph n trư c, chúng ta đã áp d ng cơ h c lư ng t đ kh o sát nh ng h hóa h c h c đơn gi n như h t chuy n đ ng trong h p, s dao đ ng và s quay c a phân t hai nguyên t , nguyên t hydro và gi ng hydro. Trong ph n này, chúng ta s tóm t t nh ng đ nh lí và đ nh đ đã đư c đ c p trư c đó. Đây là cơ s đ phát tri n cơ h c lư ng t xa hơn nh m gi i quy t nh ng h hóa h c ph c t p thư ng g p trong th c t .1 Kí hi u bra − ketTích vô hư ng c a hai hàm s ϕm (x) và ϕn (x) đư c xác đ nh như sau +∞ ϕ∗ (x)ϕn (x)dx m (1) −∞Đ i v i nh ng hàm c a các t a đ (x, y, z), tích vô hư ng c a hai hàmϕm (x, y, z) và ϕn (x, y, z) là +∞ ϕ∗ (x, y, z)ϕn (x, y, z)dxdydz m (2) −∞Đ i v i nh ng hàm c a các t a đ (r, θ, ϕ), tích vô hư ng c a hai hàmϕm (r, θ, ϕ) và ϕn (r, θ, ϕ) là 2π π +∞ ϕ∗ (r, θ, ϕ)ϕn (r, θ, ϕ)r2 sin θdrdθdϕ m (3) 0 0 −∞M t cách t ng quát, chúng ta s d ng dτ đ ch tích phân toàn ph n c at t c nh ng t a đ trong h đang xét và vi t tích vô hư ng c a hai hàmϕm , ϕn dư i d ng ϕ∗ ϕn dτ m (4) 1 Đơn gi n hơn, ta s d ng các kí hi u ket và bra cho các tích phân. Theođó, tích phân hàm ψi đư c g i là ket và kí hi u như sau ψi dτ = ψi = i (5) ∗Tích phân c a hàm liên h p ph c ψj đư c g i là bra ∗ ψj dτ = ψj = j (6)Ví d : ∗ ψj (x)ψi (x)dx = ψj ψi = j i ϕ∗ (x, y, z)ϕn (x, y, z)dxdydz = m ϕm ϕn = m n Chúng ta có ∗ ϕ∗ ϕn dτ m = (ϕ∗ )∗ (ϕn )∗ dτ = m ϕ∗ ϕm dτ n (7)Do đó ∗ ∗ ϕm ϕn = ϕn ϕm hay mn = nm (8)Đ t bi t ∗ ∗ ϕm ϕm = ϕm ϕm hay mm = mm (9) ∗Vì tích phân ϕm ϕm = ϕm ϕm nên tích vô hư ng ϕm ϕm là m tk t qu th c. Tương t , ta có ϕm cϕn = c ϕn ϕm ; cϕm ϕn = c∗ ϕn ϕm (10)V i c là h ng s b t kì. Trong kí hi u bra - ket ψm ψnhàm đư c vi t trư c là hàm liên h p ph c c a ψm . N u các đ c hàm ψi c a toán t A tuân theo phương trình ψi ψj = 0 v i m i giá tr i = j (11)thì ta nói các hàm ψi là m t b tr c giao (orthogonal). Hơn n a, n u tíchvô hư ng c a ψi v i chính nó b ng đơn v thì ψi đư c g i là đã chu n hóa. 2M t b nh ng hàm v a tr c giao v i nhau v a chu n hóa đư c g i là bhàm tr c chu n (orthonormal) ψi ψj = δij (12)v i δij đư c g i là Kronecker delta; nó b ng 1 khi i = j và b ng zero khii = j. 0 n ui=j δij = (13) 1 n ui=j Khi gi i quy t nh ng bài toán liên quan đ n h nhi u electron, ta thư ngg p nh ng tích phân c a m t toán t n m gi a hai hàm fm và fn như sau ∗ fm Afn dτ (14)Có r t nhi u kí hi u đư c dùng đ ch tích phân ki u sandwich như trên.Sau đây là m t s ví d ∗ fm Afn dτ = fm A fn = m A n = Amn (15)Tích phân này còn đư c g i là ph n t ma tr n c a toán t A.2 Toán t Hermitian2.1 Đ nh nghĩaToán t tuy n tính A đư c g i là toán t Hermitian n u có tính ch t sau ∗ fm Afn dτ = fn (Afm )∗ dτ (16)Trong đó fm và fn là nh ng hàm hoàn h o tùy ý. Lưu ý, phương trình trênkhông có nghĩa là fm Afn = fn (Afm )∗ ∗S d ng kí hi u ket và bra, ta vi t l i (16) như sau ∗ fm A fn = fn A fm = Afm fn (17)hay ∗ mAn = nAm = Am n (18) d Ví d : Xét hai toán t đ o hàm b c nh t và toán t đ o hàm b c dx d2hai , v i hai hàm f (x) và g(x) là nh ng hàm th c, xác đ nh trong kho ng dx20 ≤ x ≤ 1 và th a mãn đi u ki n biên là f (0) = f (1) = 0. ...