Các modun đối đồng điều địa phương

Mục tiêu chính của bài báo này là nghiên cứu một số tính chất của các modun đối đồng điều địa phương. Trong đó, ta đặc biệt chú ý đến tính triệt tiêu của các đối đồng điều địa phương cấp cao trong một số trường hợp cụ thể.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các modun đối đồng điều địa phươngKỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH CÁC MODUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Võ Ngọc Thiệu (SV năm 4, Khoa Toán - Tin học) GVHD: TS Trần Tuấn Nam1. Lời nói đầu Mục tiêu chính của bài báo này là nghiên cứu một số tính chất của các modun đốiđồng điều địa phương. Trong đó, ta đặc biệt chú ý đến tính triệt tiêu của các đối đồngđiều địa phương cấp cao trong một số trường hợp cụ thể. Nội dung chính của bài viết này gồm 2 phần. Trong phần 1, ta sẽ định nghĩa các hàm tử đối đồng điều địa phương, và tìm cáchliên hệ chúng với các hàm tử quen thuộc khác. Đầu tiên, ta sẽ định nghĩa hàm tử I-xoắn, rồi xem các hàm tử đối đồng điều địa phương như là các hàm tử dẫn xuất củahàm tử I-xoắn vừa định nghĩa. Sau đó, ta sẽ sử dụng một công cụ khá mạnh của đại sốđồng điều, là dãy nối các hàm tử, để tìm cách liên hệ các hàm tử này với các hàm tửquen thuộc trong đại số giao hoán và đại số đồng điều. Cụ thể, ta sẽ có đẳng cấu sau (giữa các R-modun H Ii ( M ) ≅ lim Ext Ri R n ; M . n∈ * I ) Trong phần 2, ta sẽ chỉ ra tính triệt tiêu của các hàm tử đối đồng điều địa phươngcấp cao khi idean I là hữu hạn sinh. Để làm được điều này, ta sẽ định nghĩa hàm tử I-biến đổi, và xây dựng dãy Mayer-Vietoris của các R-modun. Sau đó, dựa vào các tínhchất của hàm tử I-biến đổi, và dãy Mayer-Vietoris, ta sẽ chỉ ra được rằng các đối đồngđiều địa phương cấp lớn hơn n đều triệt tiêu khi idean I sinh bởi n phần tử. Định lý nàylà định lý quan trọng nhất của bài viết.2. Các hàm tử đối đồng điều địa phương Mục đích chính của phần này là định nghĩa các hàm tử đối đồng điều địa phương,như là các hàm tử dẫn xuất của hàm tử xoắn. Sau đó, ta sẽ sử dụng dãy nối các hàm tửđể đưa ra các tính chất khá mạnh cho các hàm tử đối đồng điều địa phương. Trong đó,ta để ý đến sự đẳng cấu của hai R-modun n∈ * ( H Ii ( M ) ≅ lim Ext Ri R In ;M ) Hay mạnh hơn, có một tương đương tự nhiên giữa hai hàm tử: n∈ * ( H Ii ( • ) ≅ lim Ext Ri R In ;• ) Bài 2.1. Hàm tử xoắn - Cho R là vành Noether không suy biến, I là một iđêan của R, M là một R-môđun. Γ I ( M ) := ∪ ( 0 :M I n ) n ≥1210 Năm học 2010 – 2011 → N là một R-đồng cấu. f ( Γ I ( M ) ) ⊂ Γ I ( N ) - Cho f : M ⎯⎯ Γ I ( f ) : Γ I ( M ) ⎯⎯ → ΓI ( N ) m Γ I ( f )( m ) := f ( m ) - Như vậy, ΓI là một hàm tử R-tuyến tính, hiệp biến từ phạm trù C(R) các R-môđun vào chính nó. Ta còn chỉ ra được Γ I là hàm tử khớp trái. Ta gọi ΓI là hàm tử I-xoắn. Bài 2.2. Các modun đối đồng điều địa phương 2.2.1. Định nghĩa (Các hàm tử đối đồng điều địa phương) Với mỗi i ∈ , hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử ΓI , kí hiệu H Ii , được gọi làhàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứng với iđêan I. Với mỗi R-môđun M, ta gọi H Ii ( M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ icủa M ứng với iđêan I. Ta có một số tính chất cơ bản sau đây mà được suy ra dễ dàng từ định nghĩa. 2.2.3. Mệnh đề: Cho J là một idean khác của R mà I = J . Khi đó, H Ii = H Ji . 2.2.4. Mệnh đề: Nếu M là R-modun nội xạ thì H Ii ( M ) = 0 ∀i ≥ 1 2.2.5. Mệnh đề: Với mọi nhóm Abel G (xem như một -modun) và với mọi sốnguyên a. Bài 2.3. Dãy nối các hàm tử 2.3.1. Định nghĩa Cho R’ cũng là một vành giao hoán. Một dãy (T i )i∈ các hàm tử hiệp biến từ C(R) vào C(R’) được gọi là một dãy nối(tương ứng, nối mạnh) nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn đồng thời: (i) Với mọi dãy khớp ngắn 0 ⎯⎯ → L ⎯⎯f → M ⎯⎯ g → N ⎯⎯→ 0 các R-modun vàR-đồng cấu, tồn tại một R’-đồng cấu nối cảm sinh T ( N ) ⎯⎯ i → T i +1 ( L ) ∀i ∈ làmcho dãy các R’-đồng cấu sau là nửa khớp (tương ứng, khớp): ( ) ( ) → T 0 ( L ) ⎯⎯⎯ → T 0 ( M ) ⎯⎯⎯ → T 0 ( N ) ⎯⎯ → T 1 ( L ) ⎯⎯ T0 f T0 g 0 ⎯⎯ → .... ( ) ( ) → T i ( L ) ⎯⎯⎯ → T i ( M ) ⎯⎯⎯ → T i ( N ) ⎯⎯ → T i +1 ( L ) ⎯⎯ Ti f Ti g ... ⎯⎯ → ... (ii) Với mọi biểu đồ giao hoán các R-modun và R-đồng cấu 0 ⎯⎯ → L ⎯⎯ f → M ⎯⎯g → N ⎯⎯ → 0 ↓ ↓ ...