Các phương pháp truyền nhiệt P3

Trong trường hợp tổng quát , mô hình toán học của bài toán biên di động do sự di chuyển pha sẽ là một hệ phương trình vi phân
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các phương pháp truyền nhiệt P3 ⎧{T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts = const ⎪ (W5) ⎨ dξ ⎪λ1T1x (ξ, τ) − λ 2T2x (ξ, τ) = lρ ⎩ dτ Trong ®ã T1x(ξ,τ) vµ T2x(ξ,τ) lµ gradient cña tr−êng nhiÖt ®é T1 dξtrong pha r¾n vµ T2 pha láng, cßn lµ tèc ®é di ®éng cña biªn x = ξ, dτhay tèc ®é chuyÓn pha, ρ lµ khèi l−îng riªng cña pha tr−íc qóa tr×nhchuyÓn pha. 7.1.3. M« h×nh TH bµi to¸n biªn di ®éng Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, m« h×nh to¸n häc cña bµi to¸n biªn di®éng do sù chuyÓn pha sÏ lµ 1 hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n, trong ®ã cã haiph−¬ng tr×nh vi ph©n cña T1, T2 thuéc 2 pha, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ kh¸ccña chóng vµ ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 5, nh− c¸c ph−¬ng tr×nh (W5) ë trªn,t¹i biªn tiÕp xóc gi÷a 2 pha.VÝ dô: M« h×nh bµi to¸n 1 chiÒu cã biªn chuyÓn pha nh− h×nh H57 lµ: T1τ (x, τ) = a1T1xx (x, τ), 0 < x < ξ, τ > 0 T2τ (x, τ) = a2T2xx (x, τ), ξ< x < L , τ > 0 T2 (x, 0) = To > Ts (§K ®Çu) (T1, T2) C¸c §K biªn t¹i x = 0, x = L T1 (ξ, τ) = T2 (ξ, τ) = Ts = const dξ λ1T1x(ξ, τ) - λ2T2x(ξ, τ) = lρ2 , (t¹i x = ξ) dτ Gi¶i bµi to¸n biªn di ®éng lµ nh»m x¸c ®Þnh T1(x, τ), T2 (x, τ) vµ dξtÝnh vËn tèc di chuyÓn cña biªn vµ dÉn ra c¸c ®Æc tÝnh kh¸c cña hÖ dτ2 pha ®−îc kh¶o s¸t.7.2. Bµi to¸n biªn ho¸ r¾n 7.2.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n ®ãng b¨ng vïng ®Êt −ít XÐt 1 vïng ®Êt −ít, réng vµ s©u v« cïng, cã ®é Èm W, nhiÖt ®é®«ng ®Æc Ts, nhiÖt ho¸ láng l, nhiÖt ®é ban ®Çu T2(x, 0)=To= const >Ts. 129 Lóc τ > 0 ®ét nhiªn h¹ nhiÖt ®é mÆt ®Êt xuèng trÞ sè T1 (0, τ) = Tw= const < Ts. Cho biÕt c¸c th«ng sè vËt lý ρ1, C1, λ1 cña ®Êt b¨ng vµ ρ2,C2, λ2 cña ®Êt −ít. T×m tr−êng nhiÖt ®é T1(x,τ) trong ®Êt b¨ng, tr−êngT2 (x, τ) trong ®Êt −ít, vËn tèc di chuyÓn cña mÆt ®ãng b¨ng. TÝnh ®édµy líp b¨ng sau thêi gian τ, tÝnh thêi gian τ ®Ó cã líp b¨ng dµy L chotr−íc. (Xem minh häa t¹i h×nh H57) 7.2.2. Ph¸t biÓu m« h×nh: dξ T×m T1(x, τ), T2 (x, τ) vµ cho bëi hÖ ptvp sau: dτ ⎧ ∂T ( x, τ ) ∂ 2T1 ( x, τ ) ⎪ 1 = a1 , ∀ ( 0 < x < ξ, τ > 0 ) (1) ⎪ ∂τ ∂x 2 ⎪ ⎪ ∂T2 ( x, τ ) = a ∂ T2 ( x, τ ) , ∀ ( ξ < x < ∞, τ > 0 ) (2) 2 ⎪ ∂τ 2 ∂x 2 ⎪ ⎪T2 ( x,0 ) = To = const ≥ Ts , ∀ ( ξ < x < ∞, τ = 0 ) (3) ⎪ ( T1,T2 ) ⎨T1 ( 0, τ ) = Tw = const < Ts , ∀ ( x = 0, τ > 0 ) (4) ⎪ ⎪ ∂T2 ( ∞, τ ) = 0, ( x → ∞, τ > 0 ) (5) ⎪ ∂x ⎪T ξ, τ = T ξ, τ = T = const, ∀ x = ξ, τ > 0 (6) ⎪ 1( ) 2( ) s ( ) ⎪ ∂T1 ( ξ, τ ) ∂T ( ξ, τ ) dξ ⎪λ1 − λ2 2 = Wlρ2 , ∀ ( x = ξ, τ > 0 ) (7) ⎪ ∂x ∂x dτ ⎩ 7.2.3. Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p Stefan * Theo kÕt qu¶ cña bµi to¸n (4.3) vÒ vËt b¸n v« h¹n, ta sÏ t×mnghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) vµ (2) ë d¹ng sau: ⎛ x ⎞ T1 (x, τ) = A1 + B1 erf ⎜ ⎜2 a τ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎛ x ⎞ 2 ∞ ( −1) x n 2n+1 T2(x,τ)= A2 + B2 erf ⎜ 2 x −δ ,ë ®©y erf(x) = ∫ e dδ= ∑ ⎜2 a τ⎟ 2 ⎟ π δ=0 π n=0 n!( 2n +1) ⎝ 2 ⎠ 130lµ hµm sai sè Gauss. C¸c h»ng sè A1B1A2B2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c§K ®¬n trÞ nh− sau: * A1 x¸c ®Þnh theo §KB (4): T1 (0, τ) = Tw = A1 A2 t×m theo gi¶ thiÕt cho r»ng T2 (∞, τ) = To T2 (∞, τ) = To = A2 + B2 → A2 = To - B2 VËy nghiÖm riªng cña (1) + (4) vµ (2) + (5) lµ: ⎛ x ⎞ T1 (x, τ) = Tw + B1 erf ⎜ ⎜2 a τ⎟ vµ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ...