Các phương pháp xấp xỉ nghiên cứu cấu trúc dòng chảy

Bài viết Các phương pháp xấp xỉ nghiên cứu cấu trúc dòng chảy trình bày phép phân tích theo giá trị kì dị SVD; Mối liên hệ giữa POD và SVD; Phương trình Fredholm; Các tính chất của các hàm riêng cơ sở.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các phương pháp xấp xỉ nghiên cứu cấu trúc dòng chảy Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 CÁC PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC DÒNG CHẢY Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG  0, k1  k 2   1 k (x)  k 2 (x) dx   k k 1 2   Phép phân tích trực giao theo giá trị riêng  1, k1  k 2 hay Proper Orthogonal Decomposition ở đó: k 1 k 2 là kí hiệu Kroneker. (POD) là một kĩ thuật hiệu quả để phân tích dữ liệu, nó cho phép xấp xỉ một hệ cỡ lớn Dùng tích vô hướng ta nhận được: thành một hệ cỡ nhỏ hơn. Nói chung phương al  t    u  x,t  l  x  dx   u  x,t  ,  l  x   pháp này là một quá trình tuyến tính, bằng  việc xác định một hệ cơ sở các modes riêng Nghĩa là với một họ các hàm trực chuẩn, trực chuẩn phù hợp nhất. Các modes đó thu hệ số ak (t) chỉ phụ thuộc và hàm k . được sau khi giải một phương trình tích phân Bài toán xấp xỉ sẽ dẫn đến việc xác định Fredholm ở đó nhận được xây dựng từ một K tập hợp các dữ liệu ban đầu là các kết quả số họ trực chuẩn k  x k 1 với K  N t để bài hay kết quả thực nghiệm. Từ đó ta có thể toán cực tiểu sau xảy ra chọn được hệ các hàm riêng một cách tối ưu Nt K nhất để có thể xây dựng lại hệ dữ liệu xấp xỉ min  || u  x, t i     u  x, t i  ,  k  x   k  x  || tốt nhất. Để tiếp cận với phương pháp POD i 1 k 1 trước tiên ta đề cập đến trường hợp chung đó là phương pháp xấp xỉ. Bài toán được phát 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU biểu như sau: Làm sao để xấp xỉ một hàm u 2.1. Phép phân tích theo giá trị kì dị SVD phụ thuộc vào các biến không gian x và biến thời gian t theo một tổng hữu hạn có dạng: Cho A là một ma trận thực cỡ M  Nt , K Phép phân tích theo giá trị kì dị SVD u  x,t    a k  t   k  x  (Singular Value Decomposition) của A được k 1 định nghĩa như sau A = U  VT, ở đó U và V Rõ ràng xấp xỉ trên trở thành là phép tính là các ma trận vuông góc với nhau, có cỡ lần đúng khi cho K ra vô cùng. Tuy nhiên trong lượt là M  M và Nt  Nt và  là một ma trận thực tế với mỗi K cho trước chúng ta sẽ tìm đường chéo với các phần tử trên đường chéo: cách xây dựng lại một cách tốt nhất. Việc này được thực hiện với nghiệm của bài toán phân  1 , …, r là các giá trị riêng của A (và AT) sao tích kì dị với chuẩn Euclide trên không gian cho  1  2  …  r, trong đó r = min (M, Nt). L2 . Nói chung, để giải bài toán xấp xỉ trên, ta Hạng của ma trận A bằng số các giá trị xét các hàm cơ sở k là các hàm đa thức riêng khác không của nó. Mặt khác, r cột Chebychev hay Legendre, hoặc là các hàm lượng giác. Cách tiếp cận này dẫn đến phép  đầu tiên tương ứng của V  v1 , v 2 ,..., v N t và  phân tích trực giao theo các giá trị riêng. U = (u1 , u2 , …, uM) được gọi là các véc tơ kì Một khó khăn của phép xấp xỉ là mỗi một dị phải và trái của A. hệ các hàm cơ sở k tương ứng với một tập Để tính toán các véc tơ kì dị phải và trái hợp các hàm thời gian ak (t). Liệu rằng các của ma trận vuông A ta sẽ giải bài toán giá ak (t) là tồn tại và duy nhất? Giả sử chúng ta trị riêng tương ứng với các ma trận ATA và chọn các hàm k là một hệ trực chuẩn: AAT. Ta có: 172 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 A TA  V  U T U  V T  V  2 V T . ở đó cơ sở hàm riêng POD k (x) k 1 chứa K T Do A A là một ma trận Hermite, nó có thể trong không gian véc tơ sinh bởi các hàm chéo hóa được trong một cơ sở vuông góc của n n  j các véc tơ riêng và do đó dạng phân tích của  (x) j1 là  j  k (x)    kj   (x). nó là A T A  WW 1  WW T , ở đó W là j 1 một ma trận vuông có số chiều là Nt . Từ đó Chúng ta lựa chọn một ma trận thực  cỡ K suy ra 2 =  và W = V. Mặt khác t   t n  K các hàm riêng k (x) k 1 - hệ cơ sở hữu µ cỡ n  N và (V, ) biểu diễn phép phân tích véc tơ riêng hạn. Đối với tất cả các ma trận A t của ma trận ATA. Tương tự ta cũng thu được Nt AAT  U  VT V  U T  U  2 U T  W W T , ...