Các toán tử trong hệ cơ học lượng tử - Lý Lê

Trong cơ học lượng tử nhìn chỗ nào cũng thấy toán tử vì mỗi thuộc tình vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử. Vì vậy hiểu rỏ toán tử và tính chất của chúng là rất cần thiết đối với người học cơ học lượng tử.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các toán tử trong hệ cơ học lượng tử - Lý Lê Các toán t trong cơ h c lư ng t Lý Lê Ngày 20 tháng 7 năm 2009 Tóm t t n i dung Hóa h c lư ng t đư c phát tri n t cơ h c lư ng t . Trong cơ h c lư ng t , có th nói, nhìn ch nào chúng ta cũng th y toán t vì m i thu c tính v t lí đư c đ c trưng b i m t toán t . Vì v y, hi u rõ khái ni m toán t cũng như nh ng tính ch t c a toán t là m t trong nh ng yêu c u cơ b n nh t đ i ngư i h c lư ng t .1 Các khái ni m1.1 Toán tChúng ta b t đ u b ng vi c vi t l i phương trình Schr¨dinger không ph othu c th i gian cho h m t h t trong không gian m t chi u d2 ψ(x) 2 − + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (1) 2m dx2hay d2 2 − + V (x) ψ(x) = Eψ(x) (2) 2m dx2 d2 2Bi u th c trong d u móc vuông − + V (x) đư c g i là toán t 2m dx2(operator). Nó tác d ng lên hàm ψ(x) cho ta hàm Eψ(x). Như v y, toán t là m t qui lu t mà nh đó t m t hàm s cho trư c tacó th tìm đư c m t hàm s m i. Af (x) = g(x) (3)Trong đó, A đư c g i là toán t . Hai hàm s f (x) và g(x) không nh t thi tph i khác nhau, chúng có th gi ng nhau. Ví d : G i D là toán t đ o hàm b c nh t theo x d d D= hay Df (x) = f (x) = f (x) dx dx 1N u f (x) = x2 + 3ex , thì ta có Df (x) = f (x) = 2x + 3exTương t , n u 3 là toán t nhân m t hàm s v i 3, thì ta có 3f (x) = 3(x2 + 3ex ) = 3x2 + 9ex1.2 T ng c a hai toán tT ng c a hai toán t A và B đư c xác đ nh như sau (A + B)f (x) = Af (x) + Bf (x) (4) Ví d : Toán t C đư c xác đ nh b i d C =x+ dxTìm Cf (x) n u f (x) = a sin(bx). Ta có d d (x + )a sin(bx) = xa sin(bx) + [a sin(bx)] = ax sin(bx) + ab cos(bx) dx dx1.3 Tích c a hai toán tTích c a hai toán t A và B đư c xác đ nh như sau ABf (x) = A[Bf (x)] (5) dVí d : Cho C = x . Tìm Cf (x) n u f (x) = (x2 + 3ex ). dx Ta có d d x (x2 + 3ex ) = x[ (x2 + 3ex )] = x(2x + 3ex ) = 2x2 + 3xex (6) dx dx d Thông thư ng, AB = B A. Ví d , xét hai toán t D = và x = x. Ta dxcó Dxf (x) = D[xf (x)] = f (x) + xf (x) (7)Trong khi đó xDf (x) = x[Df (x)] = xf (x) (8) Chúng ta nói hai toán t b ng nhau, A = B, n u Af (x) = Bf (x) v im i hàm f (x). Ví d , t phương trình (7), ta có d Dxf (x) = f (x) + x f (x) = (1 + xD)f (x) (9) dxNhư v y Dx = (1 + xD) = (1 + xD) (10)Toán t 1 (nhân v i 1) đư c g i là toán t đơn v . Chúng ta thư ng khôngghi d u mũ lên các toán t là h ng s . 21.4 Toán t tuy n tínhToán t A đư c g i là toán t tuy n tính n u nó th a các đi u ki n sau A[f (x) + g(x)] = Af (x) + Ag(x) (11) Acf (x) = cAf (x) (12)trong đó f và g là nh ng hàm b t kì, còn c là h ng s . Ví d , toán t đ ohàm là toán t tuy n tính nhưng toán t căn b c hai thì không tuy n tính.Th t v y, ta có D[f (x) + g(x)] = Df (x) + Df (x) = f (x) + g (x) D[cf (x)] = cDf (x) = cf (x)Trong khi đó f (x) + g(x) = f (x) + g(x) N u A, B và C là nh ng toán t tuy n tính, thì (A + B)C = AC + B C (13) Đ ch ng minh (13), ta ph i ch ng minh (A + B)C và AC + B C chocùng m t k t qu khi đư c áp d ng lên m t hàm f (x) tùy ý. Nghĩa là [(A + B)C]f (x) = (AC + B C)f (x) Ta xét v ph i [(A + B)C]f (x) = (A + B)(Cf (x)) = (A + B)g(x) = ...