Các yếu tố của hình học cầu

Tài liệu "Các yếu tố của hình học cầu" giới thiệu về hình học trên một mặt cầu với các sự kiện hoàn toàn khác so với hình học Euclid mặc dù các phép chứng minh đều sử dụng kiến thức thông thường của Euclid. Đây cũng là nội dung giới thiệu một kiểu hình học phi Euclid dễ hình dung nhất. Có thể dùng để tổ chức ngoại khóa cho học sinh phổ thông hay cho các sinh viên Đại học Sư phạm Toán, mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các yếu tố của hình học cầu 1 Các yếu tố của hình học cầu 1. Hình học cầu nghiên cứu tính chất của các hình nằm trên một mặt cầu nào đó.Ta ký hiệu mặt cầu này là S, tâm của nó là O, bán kính r. Lấy măt phẳng Π| ρ(O, Π) < r. Khi đó, S ∩ Π là một đường tròn. Đường tròn đó đượcgọi là đường tròn lớn nếu O ∈ Π, gọi là đường tròn nhỏ nếu O ∈ / Π. Trong hình học cầu,các đường tròn lớn đóng vai trò như các đường thẳng thông thường trên mặt phẳng. Ởđây có các kết quả tương tự: Với 2 điểm A, B bất kỳ thuộc S luôn tồn tại đường tròn lớnđi qua A,B. Nhưng cũng có những khẳng định hoàn toàn khác: Qua 2 điểm A,B có vôsố đường tròn lớn đi qua, đường tròn đó chỉ duy nhất khi A, B không là hai điểm xuyêntâm đối của S. Hơn nữa trên mặt phẳng Euclid hay trên mặt phẳng Lobasepsiky, tồn tạihai đường thẳng không có điểm chung, còn trên mặt cầu, bất kỳ hai đường tròn lớn đềucắt nhau (tại hai điểm xuyên tâm đối của mặt cầu), nghĩa là không có khái niệm songsong. Khái niệm đường gấp khúc cầu M1 M2 ...Mk được định nghĩa tương tự đường gấp khúctrong mặt phẳng Euclid: ta chỉ việc thay các đoạn thẳng M1 M2 , ..., Mk−1 Mk bằng cáccung ^ M1 M2 , ..., ^ Mk−1 Mk của các đường tròn lớn. Ta nói hình F ⊂ S chia hình S\Fthành 2 phần F 0 và F ” nếu F 0 ∪ F ” = S và F 0 ∩ F ” = ∅ và thỏa mãn 2 điều kiện sau: a. Với mọi hai điểm của hình F 0 (hoặc của F ”) đều được nối bởi đường gấp khúc cầu không giao với F b. Nếu A thuộc F 0 và B thuộc F ” thì không tồn tại đường gấp khúc cầu nối A với B mà không cắt hình F.Dễ thấy rằng mọi đường tròn lớn Q đều chia hình S\Q thành hai phần mà ta ký hiệu làS 0 và S”. Hai điểm A và B thuộc vào một trong S 0 hay S” khi và chỉ khi A và B nằm vềmột phía của mặt phẳng Π. 2 Hình 1: h.a h.b Mỗi hình S 0 ∩ Q và S” ∩ Q được gọi là các nửa cầu. còn đuường tròn lớn Q được gọilà bờ của các nửa cầu. Đặc biệt trong hình học cầu, các nửa cấu đóng vai trò như cácnửa mặt phẳng trong Hình học Euclid phẳng. Nếu nửa cầu có bờ là đường tròn lớn Q vàchứa điểm M ∈ / Q thì ta sẽ ký hiệu là [Q, M ). Giả sử A và B là hai điểm xuyên tâm đối của S, ACB và ADB là hai nửa đường trònnào đó với đầu mút là các điểm A, B. Ký hiệu Γ là hợp của hai nửa đường tròn này (HìnhHình 4.1-a). Ta có thể chứng minh được rằng hình Γ chia hình S\Γ thành hai phần D0và D”. Mỗi hình D1 = D0 ∪ Γ, D2 = D” ∪ Γ được gọi là một nhị giác với đỉnh là cácđiểm A, B. Các nửa đường tròn ACB và ADB được gọi là các cạnh của nhị giác. Nhịgiác là khaí niệm tương tự khái niệm góc trng mặt phẳng: Nhị giác là giao hay hợp củahai nửa cầu. Rõ rạng nhị giác có thể được xét như giao của mặt cầu S với góc nhị diện(C,AB,D). Góc phẳng của góc nhị diện này được gọi là góc của nhị giác đã cho. Góc nàycũng có thể xét như góc giữa các tiếp tuyến tại A (hoặc B) của đường tròn lớn, chứa cạnhcủa nhị giác. Khi góc này là góc vuông thì nhị giác được gọi là nhị giác vuông. Giả sử Q1 và Q2 là hai đường tròn phân biệt và Q1 ∩ Q2 = {A, B}. Ở đây ta có haicặp nhị giác đối đỉnh, bị cắt trên mặt cầu S bởi hai góc nhị diện đối đỉnh nhận được từgiao các mặt phẳng Π ⊃ Q1 và Σ ⊃ Q2 . Nếu một trong chúng là nhị giác vuông thì cả 3ba nhị giác còn lại cũng vuông. Trong trường hợp này các nửa đường tròn lớn được gọilà vuông góc (trực giao): Q1 ⊥Q2 . Rõ ràng: Q1 ⊥Q2 ⇐⇒ Π⊥Σ. Giả sử cho đường tròn lớn Q1 và điểm M không là cực của Q1 . Khi đó tồn tại và duynhất đường tròn lớn Q2 đi qua M và vuông góc với đường tròn Q1 . Để nhận được đườngtròn Q2 này ta cần phải lấy giao của mặt cầu S với mặt phẳng Σ đi qua đường thẳng(OM ) vuông góc với mặt phẳng Π ⊃ Q. Nếu điểm M là cực của đường tròn lớn Q1 thì mọi đường tròn lớn đi qua điểm M đềuvuông góc với Q1 . Kết quả này khác với hình học Euclid (hoặc hình học Lobasepsky): ởđó, qua mỗi điểm của mặt phẳng có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đườngthẳng cho trước. 2. Lấy 2 điểm A, B ∈ S và Q là đường tròn lớn đi qua A, B (Hình 4.1-b). Đường trònQ là hợp của hai cung của nó _ AM B và _ AN B với các đầu mút là A, B. Độ dài củamột trong hai cung mà không lớn hơn nửa đường tròn lớn, được gọi là khoảng cách cầugiữa hai điểm A và B, được ký hiệu là d(A, B). Ta có d(A, B) ≤ πr, ∀A, B ∈ S. Giả sử _ AM B ⊂ Q nhỏ hơn nửa đường tròn, nghĩa là d(A, B) là độ dài của cungnày. Ta ký hiệu α là góc ở tâm AOB, ứng với cung _ AM B và ký hiệu ρ(A, B) là độ dàiđoạn thẳng AB. Như đã biết: d(A, B) = αr (1)Từ tam giác AOB ta nhận được α ρ(A, B) = 2r sin (2) 2Từ (1) và (2) ta suy ra: d(A, B) ρ(A, B) = 2r sin (3) 2r3. Ánh xạ đẳng cự bất kỳ từ mặt cầu này lên chính nó được gọi là phép dời cầu, tức làánh xạ f : S −→ S sao cho d(A, B) = d(f (a), f (B)), ∀A, B ∈ S 4Nhưng khi đó theo (3) ta có: ρ(A, B) = ρ(f (a), f (B)), ∀A, B ∈ SDo đó, mọi phép dời cầu trên S sinh ra một phép dời f0 nào đó trong không gian, hơnnữa f0 (O) = O. Ngược lại, mọi phép dời g0 trong không gian với O là điểm bất biến sinhra một phép dời cầu tr ...