Cẩm nang cho mùa thi: Tìm hiểu các kỹ thuật giải hệ phương trình - Nguyễn Hữu Biển

Cẩm nang cho mùa thi "Tìm hiểu các kỹ thuật giải hệ phương trình" giới thiệu đến các bạn một số phương pháp giải hệ phương trình như: Phương pháp rút - thế, phương pháp nhóm nhân tử chung, phương pháp dùng bất đẳng thức vec tơ, phương pháp dùng số phức, phương pháp nhân liên hợp và đánh giá,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Cẩm nang cho mùa thi: Tìm hiểu các kỹ thuật giải hệ phương trình - Nguyễn Hữu Biển CẨM NANG CHO MÙA THI TÌM HIỂUCÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN LỜI GIỚI THIỆU Các em học sinh thân thân mến, trong đề thi ĐH môn Toán những năm gần đâythường xuyên xuất hiện câu giải hệ phương trình, câu hỏi này thường là thuộc hệ thốngcâu hỏi khó, có tính chất phân loại trong đề thi, mốc đạt điểm từ 8 đến 10. Phươngpháp suy luận để giải quyết đối với loại câu hỏi này cũng khá đa dạng, thầy có thể kểra một số phương pháp phổ biến như sau: (1) Phương pháp rút - thế (2) Phương pháp nhóm nhân tử chung (3) Phương pháp dùng hàm số và đạo hàm (4) Phương pháp dùng BĐT vec - tơ (5) Phương pháp dùng số phức (6) Phương pháp nhân liên hợp và đánh giá (7) Phương pháp lượng giác hóa Sự phân chia và liệt kê các phương pháp nói trên cũng chỉ mang tính chất tươngđối, vì trên thực tế trong đề thi chúng ta thường phải vận dụng kết hợp nhiều phươngpháp đan xen hợp lý để giải quyết bài tập (rất ít đề thi chỉ dùng 1 phương pháp độclập). Vậy câu hỏi đặt ra là “làm thế nào nhận biết được bài tập đã cho dùng phươngpháp nào?”, đôi khi có bài tập có một vài cách giải khác nhau tuy nhiên sẽ có cách haynhất, dễ hiểu nhất. Để giảm bớt “nỗi lo âu” của các em học sinh đối với loại bài tậpnày, thầy biên soạn cuốn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tàiliệu bao gồm 120 bài tập giải hệ phương trình - minh họa đầy đủ các kỹ thuật giải hệphương trình trong đề thi đại học, đặc biệt 24 bài tập đầu thầy không chỉ hướng dẫnlàm bài mà quan trọng hơn đó là đi sâu vào phân tích, tìm hiểu kỹ thuật giải tươngứng, như vậy dần dần các em sẽ tích lũy được thành kinh nghiệm - “bí kíp” cho riêngmình. Sau 24 bài tập, thầy sẽ đưa ra một loạt các bài tập tự luyện kèm hướng dẫn giảibám sát cấu trúc ra đề theo xu thế mới hiện nay để các em tự thực hành và đối chiếuhướng dẫn giải. Phương châm và mong muốn của thầy là học xong tài liệu này, các emsẽ giải quyết tốt câu giải hệ phương trình trong đề thi sắp tới (nếu có).TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x 4y3 + 3y + 5y 2 − x 2 = y 2 x 2 + 4y 2 + 8 (1)  Bài 1 : Giải hệ phương trình  ( ) ( ) x + 12 − 2x = 2y 2 − 2 y − 4 (2)Phân tích tìm lời giải  x 2 ≤ 5y 2 + ĐK: 0 < x ≤ 6 y ≥ 0 + Trước hết quan sát ta thấy phương trình (2) có hình thức đơn giản hơn (1). Tuy rằng (2)có biến x và y cô lập ở từng vế nhưng ta không thể biến đổi để sử dụng “hàm đại diện”được. Vì vậy, ta sẽ “mò nghiệm” để tìm quan hệ của x và y. Thật vậy:- Từ (2) ta cho y = 4 ⇒ x + 12 − 2x = 24 , bấm máy ta thấy phương trình này vô nghiệm,vì vậy ta bỏ qua việc suy luận từ (2)+ Bây giờ ta chỉ còn cách quay về (1) để “nghiên cứu”. Ta thấy như sau: ( )- Từ (1) ta cho y = 1 ⇒ x 7 + 5 − x 2 = x 2 + 12 , bấm máy giải phương trình này có x = 2- Từ (1) ta cho y = 2 ⇒ x ( 38 + ) ( ) 20 − x 2 = 4 x 2 + 24 , bấm máy giải phương trình có x = 4 Vậy với 2 giá trị ta nhận thấy dự đoán x = 2y ⇔ x − 2y = 0 , điều này khiến ta cósuy luận rằng, nếu biến đổi (1) một cách khéo léo, ta sẽ ép được nhân tử chung là( x − 2y ) . Bây giờ ta sẽ “ép nhân tử chung” từ (1) như sau: ( ) ( x 4y3 + 3y + 5y 2 − x 2 = y 2 x 2 + 4y 2 + 8 ) ⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y 2 − x 2 = x 2 y 2 + 4y 4 + 8y 2 ( ) ( ) ( ⇔ 2xy3 − 4y 4 + x 5y 2 − x 2 − xy + 4xy + 2xy3 − 8y 2 − x 2 y 2 = 0 ) ⇔ 2y3 ( x − 2y ) + x ( 5y 2 − x 2 − y ) + y ( 4x + 2xy 2 ) − 8y − x 2 y = 0 x ( x − 2y )( x + 2y ) ⇔ 2y3 ( x − 2y ) − + y ( x − 2y )( 4 + xy ) = 0 5y 2 − x 2 − y  x ( x + 2y )  ⇔ ( x − 2y ) 3y3 − + y ( 4 + xy )  = 0  5y 2 − x 2 + y + Như vậy ta đã ép được nhân tử chung ( x − 2y ) từ (1), tuy nhiên cái ngoặc vuông“khổng lồ” gắn kèm kia ta rất khó để chứng minh được nó khác 0. Có lẽ cách làm nàyvẫn không khả thi cho lắm.+ Sau một hồi suy luận mất khá nhiều thời gian và công sức, ta cũng chỉ mới biết đượcx = 2y ⇔ x − 2y = 0 . Bây giờ con đường cuối cùng là ta đổi hướng làm theo kiểu “đánhgiá”, chú ý phải “biến đổi ép” để có ( x − 2y ) nhé. Thật vậy, từ (1) ta biến đổi như sau: Trang 1TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( ) ( x 4y3 + 3y + 5y 2 − x 2 = y 2 x 2 + 4y 2 + 8 ) ⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y 2 − x 2 = x 2 y 2 + 4y 4 + 8y 2 ⇔ 3xy + x 5y 2 − x 2 − 8y 2 = x 2 y 2 + 4y 4 − 4xy3 2 ⇔ 3xy + x 5y 2 − x 2 − 8y 2 = 2y 2 − xy ( ...