Chứng minh hệ thức tổ hợp (Bài tập và hướng dẫn giải)

Tham khảo tài liệu chứng minh hệ thức tổ hợp (bài tập và hướng dẫn giải), tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chứng minh hệ thức tổ hợp (Bài tập và hướng dẫn giải) TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 08 tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 08-04 Chứng minh các hệ thức tổ hợp.Bài 1: Chứng minh rằng với k , n ∈ ¥ ; 2 ≤ k ≤ n luôn có: Cn + 4Cn −1 + 6Cn − 2 + 4Cnk −3 + Cn − 4 = Cn + 4 k k k k kBài 2: Chứng minh rằng: 2Cn + 5Cn +1 + 4Cn + 2 + Cn +3 = Cn + 22 + Cn +33 k k k k k+ k+Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau: S = C2010C2010 + C2010C2009 + ... + C2010C2010−−kk + ... + C2010 C10 0 2009 1 2008 k 2010 2009Bài 4: Với n, k là số nguyên dương và 1 ≤ k ≤ n . Chứng minh rằng: Cn Cn − CnCn −11 + Cn Cn − 22 − ... + (−1)Cn C0n − k = 0 0 k 1 k− 2 k− k ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 08-04Bài 1: Chứng minh rằng với k , n ∈ ¥ ; 2 ≤ k ≤ n luôn có: Cn + 4Cn −1 + 6Cn − 2 + 4Cnk −3 + Cn − 4 = Cn + 4 k k k k k Giải: Ta có : VT = Cnk + Cnk −1 + 3 ( Cnk −1 + Cnk − 2 ) + 3 ( Cnk − 2 + Cnk − 3 ) + Cnk − 3 + Cnk − 4 = Cnk+1 + 3Cnk+−11 + 3Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+ 1 + Cnk+−11 + 2 ( Cnk+−11 + Cnk+−12 ) + Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+ 2 + 2Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ 2 + Cnk+−2 + Cnk+−2 + Cnk+−22 = Cnk+ 3 + Cnk+−3 = Cnk+ 4 = VP 1 1 1 1 ⇒ DPCMBài 2: Chứng minh rằng: 2Cn + 5Cn +1 + 4Cn + 2 + Cn +3 = Cn + 22 + Cn +33 k k k k k+ k+ Giải: Ta có : Cnk + 2Cnk + 1 + Cnk + 2 = Cnk + Cnk + 1 + Cnk + 1 + Cnk + 2 = Cnk++11 + Cnk++12 = Cnk++22 Cnk + 3Cnk + 1 + 3Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk + Cnk + 1 + 2 ( Cnk + 1 + Cnk + 2 ) + Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++11 + 2Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++11 + Cnk++12 + Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++22 + Cnk++23 = Cnk++33 ⇒ 2Cnk + 5Cnk + 1 + 4Cnk + 2 + Cnk + 3 = Cnk++22 + Cnk++33Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau: S = C2010C2010 + C2010C2009 + ... + C2010C2010−−kk + ... + C2010 C10 0 2009 1 2008 k 2010 2009 Page 2 of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Giải:Ta có : C k C 2009 − k = 2010! . ( 2010 − k ) ! = 2010! = 2010.2009! k !( 2010 − k ) ! (2009 − k )! k !( 2009 − k ) ! k !( 2009 − k ) ! 2010 2010 − k= 2010C2009 k⇒ S = 2010 ( C2009 + C2009 + ... + C2009 + ... + C2009 ) = 2010(1 + 1) 2009 = 1005.22010 0 1 k 2009Bài 4: Với n, k là số nguyên dương và 1 ≤ k ≤ n . Chứng minh rằng: Cn Cnk − CnCnk−11 + Cn Cnk− 22 − ... + (−1)Cnk C0n − k = 0 0 1 − 2 − Giải: k ( 1 + x ) = Ck + C1 x + Ck x2 + ... + Ck xk 0 k 2 k Ta có :C m .Cn = k k! . n! = n! . ( n − m) ! k ...