Chương 2: Cơ sở toán học

Đối tượng điều khiển rất đa dạng. Do đó cần có cơ sở toán học để phân tích, thiết kế các hệ điều khiển có bản chất vật lý khác nhau. Một cách tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính liên tục có thể được biểu diễn dạng phương trình vi phân
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 2: Cơ sở toán họcChöông 2 CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC ThS. NGUYEÃN XUAÂN NGUYEÂN Chöông 2 Cô sôû toaùn hoïc Ñoái töôïng ñieàu khieån raát ña daïng. Do ñoù caàn coù cô sôû toaùnhoïc ñeå phaân tích, thieát keá caùc heä ñieàu khieån coù baûn chaát vaät lyùkhaùc nhau.I. Phöông trình vi phaân Xeùt maïch RC nhö hình veõ.Ta coù: v i = iR + v 0 R dvo maø: i=C v i(t) C vo(t) dt i dv oneân: RC + vo = vi dt I. Phöông trình vi phaân Xeùt heä vaät - loø xo - ñeäm nhö hình veõ.Theo ñònh luaät 2 Newton, ta coù: Fh = m amaø: dv d 2x a = = dt dt 2 dx F h = F − Kx − Cv = F − Kx − C m o dtneân: dx d2x F − Kx − C =m 2 dt dt F(t) x d2x dx ⇒ m 2 + C + Kx = F dt dt I. Phöông trình vi phaân Moät caùch toång quaùt, quan heä giöõa tín hieäu vaøovaø tín hieäu ra cuûa heä thoáng tuyeán tính lieân tuïc coùtheå ñöôïc bieåu dieãn daïng phöông trình vi phaân: r(t) c(t) Heä TTLT d n c (t ) d n − 1c ( t ) dc(t )a0 + a1 + ... + an − 1 + an c(t ) = dt n dt n −1 dt d m r (t ) d m − 1r (t ) dr (t ) b0 + b1 + ... + bm − 1 + bmr (t ) dt m dt m −1 dt I. Phöông trình vi phaân Vieäc khaûo saùt heä thoáng döïa vaøo phöông trình viphaân baäc cao thöôøng gaëp nhieàu khoù khaên. Phöông phaùp haøm truyeàn ñaït moâ taû heä thoánggiuùp cho vieäc khaûo saùt deã daøng hôn baèng vieäcchuyeån quan heä phöông trình vi phaân thaønh quanheä phaân thöùc ñaïi soá nhôø pheùp bieán ñoåi Laplace. II. Bieán ñoåi Laplace1. Ñònh nghóa Cho f(t) xaùc ñònh vôùi moïi t ≥ 0, bieán ñoåi Laplacecuûa f(t) ñöôïc xaùc ñònh: +∞ L { f (t )} = F (s) = ∫ f (t ).e dt − st 0 Trong ñoù s = σ+jω laø bieán Laplace L laø toaùn töû Laplace II. Bieán ñoåi Laplace2. Tính chaát Tính tuyeán tính L{af1 (t) + bf2 (t)} = aF (s) + bF (s) 1 2 Ñònh lyù chaäm treã L{ f (t − T )} = e L{ f (t)} = e F(s) −Ts −Ts II. Bieán ñoåi LaplaceAÛnh cuûa ñaïo haøm ⎧ df (t ) ⎫ L⎨ ⎬ = sF (s) − f (0 + ) ⎩ dt ⎭AÛnh cuûa tích phaân ⎧t ⎫ F (s) L ⎨∫ f (t )dt ⎬ = ⎩0 ⎭ sÑònh lyù giaù trò cuoái lim f (t ) = lim sF ( s ) t →+∞ s→0 II. Bieán ñoåi Laplace3. Bieán ñoåi Laplace ngöôïc Cho haøm soá phöùc F(s), bieán ñoåi Laplace ngöôïccuûa haøm soá F(s) ñöôïc kyù hieäu laø: −1 L {F (s)} = f (t ) Thoâng thöôøng ñeå tìm bieán ñoåi Laplace ngöôïc, tathöïc hieän bieán ñoåi F(s) veà daïng cô baûn, sau ño söûduïng baûng tra bieán ñoåi Laplace. II. Bieán ñoåi Laplace4. Bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn Haøm naác ñôn vò u(t) ⎧1 , if t≥0 ⎪ ⎪ u (t ) = ⎨ 1 ⎪ ⎪0 ⎩ , if t II. Bieán ñoåi LaplaceHaøm xung ñôn vò ∂(t) ⎧0 , if t≠0 ⎪ ⎪ δ (t ) = ⎨ ⎪ ⎪∞ , if ⎩ t =0 tVaø thoaû heä thöùc: O +∞ ∫δ − ∞ ( t ) dt = 1 ⇒ L {δ (t )} = 1 II. Bieán ñoåi LaplaceHaøm doác ñôn vò ⎧t , if t ≥ 0 r(t) ⎪ ⎪r(t) = tu(t) = ⎨ ⎪ 1 ⎪0 , if t < 0 ⎩ ...