Chương 2: Đại số tuyến tính

Tài liệu tham khảo về đại số tuyến tính
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 2: Đại số tuyến tính CHƯƠNG2:ĐẠISỐTUYẾNTÍNH §1.CÁCPHƯƠNGTRÌNHĐẠISỐTUYẾNTÍNH1.Hệphươngtrìnhđầyđủ:TaxéthệphươngtrìnhAx=B.ĐểtìmnghiệmcủahệtadùnglệnhMATLAB: x=inv(A)*Bhay: x=AB2.Hệphươngtrìnhcóítphươngtrìnhhơnsốẩn(underdetermined):Khigiảihệtrêntađãdùngnghịchđảomatrận.NhưvậytachỉnhậnđượckếtquảkhimatrậnAvuông(sốphươngtrìnhbằngsốẩnsốvàđịnhthứccủaAphảikháckhông).HệcósốphươngtrìnhíthơnsốẩnhayđịnhthứccủamatrậnAcủahệđầyđủbằng0gọilàhệunderdetermined.Mộthệnhưvậycóthểcóvôsốnghiệmvớimộthaynhiềubiếnphụthuộcvàocácbiếncònlại.VớimộthệnhưvậyphươngphápCramerhayphươngphápmatrậnnghịchđảokhôngdùngđược. Khi số phương trình nhiều hơn số ẩn phương pháp chia trái cũng chonghiệm với một vài ẩn số được cho bằng 0. Một ví dụ đơn giản là phươngtrìnhx+3y=6.Phươngtrìnhnàycórấtnhiềunghiệmtrongđócómộtnghiệmlàx=6vày=0: a=[13]; b=6; x=a x= 6 0Sốnghiệmvôhạncóthểtồntạingaycảkhisốphươngtrìnhbằngsốẩn.Điềunày xảy ra khi det(A) = 0. Với hệ này ta không dùng được phương phápCramer và phương pháp ma trận nghịch đảo và phương pháp chia trái chothông báo là ma trận A suy biến. Trong trường hợp như vậy ta có thể dùngphương pháp giả nghịch đảo để tìm được một nghiệm gọi là nghiệm chuẩnminimum.Vídụ:Chohệphươngtrình x+2y+z=8 0x+y+0z=2 x+y+z=6 29Khidùngphépchiatráitanhậnđược: y=a Warning:Matrixissingulartoworkingprecision. y= Inf Inf Inf Nếutadùngphươngphápgiảnghịchđảothìcó: a=[121;010;111] b=[8;2;6] x=pinv(a)*b x= 2.00000000000000 2.00000000000000 2.00000000000000 Mộthệcũngcóthểcóvôsốnghiệmkhicóđủsốphươngtrình.Vídụtacóhệ: 2x‐4y+5z=‐4 ‐4x‐2y+3z=4 2x+6y‐8z=0Tronghệnàyphươngtrìnhthứ3làtổngcủahaiphươngtrìnhtrênnênhệthậtsựchỉcó2phươngtrình. Tómlạimộthệmuốncónghiệmduynhấtphảicócácphươngtrìnhđộclập. Việc xác định các phương trình trong hệ có độc lập hay không khá khó,nhất là đối với hệ có nhiều phương trình. Ta đưa ra một phương pháp chophépxácđịnhhệphươngtrìnhcónghiệmvàliệunghiệmđócóduynhấthaykhông.Phươngphápnàyđòihỏisựhiểubiếtvềhạngcủamatrận. Taxemxétđịnhthứccủamatrậnsau: ⎡3 − 4 1⎤ ⎢6 10 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣9 − 7 3⎥⎦Nếutaloạitrừmộthàngvàmộtcộtcủamatrậnchúngtacònlạimatrận2×2.Tuỳtheohàngvàcộtbịloạitacó9matrậncon.Địnhthứccủacácmatrậnnàygọilàđịnhthứccon.Vídụnếutabỏhàng1vàcột1tacó: 10 2 = 44 −7 3 30Các định thức con có thể dùng để xác định hạng của ma trận. Hạng của matrậnđượcđịnhnghĩanhưsau: MộtmatrậnAm×ncóhạngr ≥1nếuvàchỉnếuđịnhthứccủaAchứamộtđịnhthứcr ×rvàmọiđịnhthứcconvuôngcór+1hànghayhơnbằng0. ĐểxácđịnhhạngcủamatrậntacólệnhrankVídụ: a=[3‐41;6102;9‐73]; rank(a) ans= 2HệphươngtrìnhAx=Bcómphươngtrìnhvànẩncónghiệmnếuvàchỉnếurank(A)=rank([AB]).GọihạngcủaAlàr,nếur=nthìnghiệmlàduynhất.NếurTaviết: a=[2‐45;‐6‐23;26‐8]; b=[‐4;4;0]; rank(a) ans= 2 rank([ab]) ans= 2Vậyhệcóvôsốnghiệm.Mộttrongcácnghiệmlà: x=pinv(a)*b x= ‐1.21481481481481 0.20740740740741 ‐0.14814814814815 3. Hệ phương trình overdetermined: Hệ phương trình trong đó số phươngtrình độc lập nhiều hơn số ẩn gọi là hệ overdetermined. Đối với hệ nàyphươngphápCramervàphươngphápnghịchđảomatrậnkhôngdùngđược.Tuynhiênmộtsốhệchonghiệmđúngxácđịnhbằngphépchiatrái.Đốivớicác hệ khác không có nghiệm chính xác. Khi r = rank(a) = rank([a b]) hệ cónghiệmvànếur=nnghiệmlàduynhất.Khirank(a)≠rank([ab])hệkhôngcónghiệm.Ví dụ: Giải mạchđiệngồm3nhánhnốisongsong:nhánh1cótổngtrởZ1=5 ...