CHƯƠNG 2: MA TRẬN

Matrận[A]gọilàđốixứngnếu[A]T=[A] Chomộtmatrậnvuông[A],cấpn.Tanóimatrận[A]khôngsuybiến (non singular) nếu ma trận có thể nghịch đảo được hay nói cách khác, định thứccủamatrậnkháckhông. Ma trận Hermite là một ma trận vuông có các phần tử là số phức bằngchuyểnvịliênhợpcủanó,nghĩalàphầntửởhàngicộtjbằngsốphức liên hợp của phân tử ở hàng j cột i ⎡ A∗ ⎤ = ⎡ A ⎤ . Ví dụ ma trận ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 + j⎤ ⎡ 3 làmatrậnHermite. [A] = ⎢ 2−j 1 ⎥ ⎣ ⎦T MatrậnHouseholderlàmộtmatrậnvuôngdạng: 2 [ H] = [E ] − T [ U ][ U ]T [U]...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNG 2: MA TRẬN CHƯƠNG 2: MA TRẬN §1.MỘTSỐKHÁINIỆM Matrận[A]gọilàđốixứngnếu[A]T=[A] Chomộtmatrậnvuông[A],cấpn.Tanóimatrận[A]khôngsuybiến(non singular) nếu ma trận có thể nghịch đảo được hay nói cách khác, địnhthứccủamatrậnkháckhông. Ma trận Hermite là một ma trận vuông có các phần tử là số phứcbằngchuyểnvịliênhợpcủanó,nghĩalàphầntửởhàngicộtjbằngsốphức Tliên hợp của phân tử ở hàng j cột i ⎡ A∗ ⎤ = ⎡ A ⎤ . Ví dụ ma trận ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 3 2 + j⎤[A] = ⎢ làmatrậnHermite. ⎣ 2−j 1 ⎥⎦ MatrậnHouseholderlàmộtmatrậnvuôngdạng: 2 [ H] = [E ] − T [ U ][ U ]T [U] [U]Trongđóvlàvectơcộtkháczero Matrận[A]gọilàtrựcgiaonếu[A]T[A]=[E] T Matrậnphức[U]gọilàmatrậnunitanếu ⎡ U ⎤ ⎡ U∗ ⎤ = ⎡E ⎤ .Vídụma ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 1 + j −1 + j ⎤ ⎢ 2 2 ⎥trận [ U ] = ⎢ ⎥ làmatrậnunita ⎢ 1+ j 1− j ⎥ ⎢ 2 ⎣ 2 ⎥ ⎦ Mộtmatrậnchỉcómộtcộtgọilàmộtvectơ ChuẩncủamộtvectơX,kíhiệulà X ,làmộtsốthựcthoảmãn: ‐ X >0 ‐ cX = c X ‐ X + Y ≤ X + Y GiảthiếtX=[x1,x2,…,xn]T,tathườngdùngmộttrong3chuẩnsauđây: ‐ X 1 = max x j j n ‐ X 2 = ∑ x j j=1 58 n ∑ xj 2 ‐ X 3 = j=1 Chuẩncủamộtmatrận[A],kíhiệulà A ,làmộtsốthựcthoảmãn: ‐ A >0 ‐ cA = c A ‐ A + B ≤ A + B ‐ AB ≤ A B Tathườngdùngmộttrong3chuẩnsauđây: n ‐ A 1 = max ∑ a i ,j i j=1 n ‐ A 1 = max ∑ a i ,j j i =1 n ∑ a i ,j 2 ‐ A 3 = i ,j=1 Matrận[A]gọilàxácđịnhdươngnếuvớivectơ[x]bấtkìtacó: [ x]T[ A][ x] > 0 Matrận[A]gọilànửaxácđịnhdươngnếuvớivectơ[x]bấtkìtacó: [ x ]T[ A ][ x] ≥ 0 Tađịnhnghĩamatrậnxácđịnhâmvànửaxácđịnhâmmộtcáchtươngtự. Hạngcủamatrậnlàcấpcủamatrậnconcủamatrậnấycóđịnhthứckhác không còn mọi ma trận con cấp cao hơn đều có định thưc bằngkhông(matrậnconlàmatrậncóđượcbằngcáchxoámộtsốhàngvàcộtcủamatrậnbanđầu). §2.BIẾNĐỔIHOUSEHOLDER1. Ma trận Householder: Ta biến đổi ma trận [A] về dạng có các phần tửthuộc đường chéo chính, các phần tử phía trên và phía dưới đường chéochính khác zero, còn các phần tử còn lại bằng zero(ma trận ba đường chéo)bằngcáchdùngphépbiếnđổiHouseholder. PhépbiếnđổiHouseholderdùngmatrậnHouseholder. [ U ][ U ]T [ H] = [ E] − (1) Q 59Trongđó: 1 1 Q = [ U ] [ U ] = [ U ] T 2 (2) 2 2Do[H]đốixứngnên: ⎛ [ U ][ U ]T ⎞⎛ E − [ U][ U]T ⎞ [ H] [ H] = [ H][ H] = ⎜ [ E] − T ⎟⎜ [ ] ⎟ ⎝ Q ⎠⎝ Q ⎠ = [ E ] − 2 ( T ) [ U ][ U]T + [ U ] [ U ][ U ] [ U ] T Q Q2 = [ E ] − 2 [ U ][ U ]T + [ U] ( 2Q ) [ U ]T = E 2 [ ] Q QTừđâytathấy[H]cũnglàmatrậntrựcgiao. Cho[X]làvectơbấtkỳvàkhảosátphépbiếnđổi[H][X].Chọn: [U]=[X]+k[I1] (3)Trongđó: k = ± [X] [I1 ] = ⎡1 T ⎣ 0 L 0⎤ ⎦ Tacó: [ U ][ U ]T ⎞ X = ⎧ E − [ U] ([ X ] + k [ I1 ]) ⎫ X ...