Chương 2 NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ
Số trang: 18
Loại file: ppt
Dung lượng: 426.00 KB
Lượt xem: 9
Lượt tải: 0
Xem trước 2 trang đầu tiên của tài liệu này:
Thông tin tài liệu:
TÀI LIỆU THAM KHẢO VỀ TOÁN HỌC - NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 2 NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ Chương 2 NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐI. Nội suy. 1. Đặt vấn đề. y = f ( x ); - không biết biểu thức giải tích của hàm; - biết giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm trên đoạn [ a, b] ( bằng đo đạc hoặc thực nghiệm): xo x1 . . . xi . . . xn-1 xn x y=f( x ) yo y1 . . . yi . . . yn-1 yn - Tìm giá trị của hàm số tại một số điểm trung gian khác. Bài toán nội suy:-Xây dựng một hàm φ( x ) có biểu thức đơn giản, có giá trịtrùng với giá trị của f ( x ) tại các điểm xo x1 . . . xn , còn t ạicác điểm khác trên đoạn [a, b] thì φ( x ) khá gần f( x ) [phảnảnh gần đúng quy luật f( x ) ] có thể suy ra giá trị gần đúngcủa f( x ) tại các giá trị x bất kỳ thoả mãn xo < x < xn. - φ( x ) – hàm nội suy của f( x ) trên đoạn [a, b]. -Ý nghĩa hình học: xây dựng đường cong y = φ( x ) đi qua các điểm cho trước (x , y ), I = 0, 1, . . . , n.2. Đa thức nội suy.Thường chọn đa thức làm hàm nội suy vì: - Đa thức là loại hàm đơn giản; - Luôn có đạo hàm và nguyên hàm; - Việc tính giá trị của chúng đơn giản. Bài toán: - Trên đoạn a ≤ x ≤ b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) xi; i = 0, 1, 2, . . ., n; với a ≤ xo, x1, x2, . . . .xn ≤ b.- Cho giá trị tương ứng của hàm y = f( x ) tại các nút: xo x1 . . . xi . . . xn-1 xn x y=f( x ) yo y1 . . . yi . . . yn-1 yn - Cần xây dựng một đa thức bậc n: Pn( x ) = aoxn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an. (1) sao cho Pn(x) trùng với f(x) tại các nút xi, Pn(xi) = yi ; i= 0, 1, 2, . . . , n.Sự duy nhất của đa thức nội suy: đa thức nội suy Pn( x ) củahàm f( x ) định nghĩa ở trên nếu có thì ch ỉ có m ột mà thôi. Đa thức nội suy có thể xây dựng theo nhiều cách nhưng do tính duy nhất nên các dạng của nó đều có thể quy về nhau.3. Đa thức nội suy Lagrăng. n Pn ( x) = ∑ yi li ( x); (2) i =0 ( x − xo )...( x − xi −1 )( x − xi +1 )...( x − xn ) li ( x) = ;trong đó ( xi − xo )...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )...( xi − xn ) li(x) – đa thức bậc n Pn(x) – đa thức bậc n 1 khi j = i; li ( x j ) = 0 j ≠ I; Pn(xi)= yi; i = 0, 1, 2, . . ., n.( 2 ) – đa thức nội suy Lagrăng.*/ Nội suy tuyến tính. ( n = 1 ) x xo x1 P ( x) = yolo ( x) + y1l1 ( x); (2) (3) 1 y yo y1 x − xo x − x1 lo ( x) = l1 ( x) = ; xo − x1 x1 − xo x − xo x − x1 Pn ( x) = yo + y1 ; xo − x1 x1 − xo Có dạng P1(x) = Ax + B - bậc nhất đối với x.*/ Nội suy bậc 2. ( n = 2 ) x xo x1 x2 P2 ( x) = yolo ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x); (4) y yo y1 y2 ( x − xo )( x − x2 ) ( x − x1 )( x − x2 ) lo ( x) = ; l1 ( x) = ( xo − x1 )( xo − x2 ) ( x1 − xo )( xo − x2 ) ( x − xo )( x − x1 ) l2 ( x ) = ; ( x2 − xo )( x2 − x1 ) P2(x) có dạng : P2(x) = Ax2 + Bx + C - bậc 2 đối với x.*/ Sai số nội suy. Định lý. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] và có trong [a, b] đ ạo hàm liên tục đến cấp n+1 thì sai số nội suy rn(x) =f(x) – Pn(x) có biểu thức: π ( x) ; c ∈ [ a, b ] ( n +1) rn ( x) = f (c ) (5) (n + 1)! π ( x) = ( x − xo )( x − x1 )...( x − xn ) ([a, b] - khoảng chứa các nút xi) [ ] M = max f ( n +1) ( x) ; x ∈ a, b Gọi thì M π ( x) ; rn ( x) ≤ (n + 1)! -Ưu điểm của đa thức nội suy Lagrăng : đơn giản;- Nhược điểm : thêm một nút thì phải tính lại toàn bộ. 4. Đa thức nội suy Niutơn. a/ Sai phân hữu hạn. y = f(x) có giá trị yi = f(xi) tại các nút xi cách đều nhau với xi+1 – xi = h = const; i = 0, 1, 2, . . ., n x0 ; x1 = xo + h; x2 = x0 + 2h; . . .xi = xo + ih . . . Định nghĩa sai phân hữu hạn của hàm y = f(x): Sai phân cấp 1(hạng 1): Δyi = yi+1 – yi; Sai phân cấp hai: ;Δ2yi = Δyi+1 –Δyi ;Δ3yi = Δ2yi+1 –Δ2yi Sai phân cấp 3: Sai phân cấp n là sai phân của sai phân cấp n-1: ;Δnyi = Δ(Δn-1yi) = Δn-1yi+1 –Δn-1yi ∆yo = y1 − yo ; ∆2 yo = ( y2 − y1 ) − ( y1 − yo ) = y2 − 2 y1 + yo ; ∆3 yo = y3 − 3 y2 + 3 y1 − yo ; ..................... n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n yn−3 + (−1) n −1 y1 + (−1) n yo ;∆n yo = yn − yn −1 + yn − 2 − 1! 2! 3!b/ Đa thức nội suy Niutơn tiến (nội suy về phía phải). Trường hợp các nút cách đều, Niutơn đa th ức có ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 2 NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ Chương 2 NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐI. Nội suy. 1. Đặt vấn đề. y = f ( x ); - không biết biểu thức giải tích của hàm; - biết giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm trên đoạn [ a, b] ( bằng đo đạc hoặc thực nghiệm): xo x1 . . . xi . . . xn-1 xn x y=f( x ) yo y1 . . . yi . . . yn-1 yn - Tìm giá trị của hàm số tại một số điểm trung gian khác. Bài toán nội suy:-Xây dựng một hàm φ( x ) có biểu thức đơn giản, có giá trịtrùng với giá trị của f ( x ) tại các điểm xo x1 . . . xn , còn t ạicác điểm khác trên đoạn [a, b] thì φ( x ) khá gần f( x ) [phảnảnh gần đúng quy luật f( x ) ] có thể suy ra giá trị gần đúngcủa f( x ) tại các giá trị x bất kỳ thoả mãn xo < x < xn. - φ( x ) – hàm nội suy của f( x ) trên đoạn [a, b]. -Ý nghĩa hình học: xây dựng đường cong y = φ( x ) đi qua các điểm cho trước (x , y ), I = 0, 1, . . . , n.2. Đa thức nội suy.Thường chọn đa thức làm hàm nội suy vì: - Đa thức là loại hàm đơn giản; - Luôn có đạo hàm và nguyên hàm; - Việc tính giá trị của chúng đơn giản. Bài toán: - Trên đoạn a ≤ x ≤ b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) xi; i = 0, 1, 2, . . ., n; với a ≤ xo, x1, x2, . . . .xn ≤ b.- Cho giá trị tương ứng của hàm y = f( x ) tại các nút: xo x1 . . . xi . . . xn-1 xn x y=f( x ) yo y1 . . . yi . . . yn-1 yn - Cần xây dựng một đa thức bậc n: Pn( x ) = aoxn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an. (1) sao cho Pn(x) trùng với f(x) tại các nút xi, Pn(xi) = yi ; i= 0, 1, 2, . . . , n.Sự duy nhất của đa thức nội suy: đa thức nội suy Pn( x ) củahàm f( x ) định nghĩa ở trên nếu có thì ch ỉ có m ột mà thôi. Đa thức nội suy có thể xây dựng theo nhiều cách nhưng do tính duy nhất nên các dạng của nó đều có thể quy về nhau.3. Đa thức nội suy Lagrăng. n Pn ( x) = ∑ yi li ( x); (2) i =0 ( x − xo )...( x − xi −1 )( x − xi +1 )...( x − xn ) li ( x) = ;trong đó ( xi − xo )...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )...( xi − xn ) li(x) – đa thức bậc n Pn(x) – đa thức bậc n 1 khi j = i; li ( x j ) = 0 j ≠ I; Pn(xi)= yi; i = 0, 1, 2, . . ., n.( 2 ) – đa thức nội suy Lagrăng.*/ Nội suy tuyến tính. ( n = 1 ) x xo x1 P ( x) = yolo ( x) + y1l1 ( x); (2) (3) 1 y yo y1 x − xo x − x1 lo ( x) = l1 ( x) = ; xo − x1 x1 − xo x − xo x − x1 Pn ( x) = yo + y1 ; xo − x1 x1 − xo Có dạng P1(x) = Ax + B - bậc nhất đối với x.*/ Nội suy bậc 2. ( n = 2 ) x xo x1 x2 P2 ( x) = yolo ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x); (4) y yo y1 y2 ( x − xo )( x − x2 ) ( x − x1 )( x − x2 ) lo ( x) = ; l1 ( x) = ( xo − x1 )( xo − x2 ) ( x1 − xo )( xo − x2 ) ( x − xo )( x − x1 ) l2 ( x ) = ; ( x2 − xo )( x2 − x1 ) P2(x) có dạng : P2(x) = Ax2 + Bx + C - bậc 2 đối với x.*/ Sai số nội suy. Định lý. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] và có trong [a, b] đ ạo hàm liên tục đến cấp n+1 thì sai số nội suy rn(x) =f(x) – Pn(x) có biểu thức: π ( x) ; c ∈ [ a, b ] ( n +1) rn ( x) = f (c ) (5) (n + 1)! π ( x) = ( x − xo )( x − x1 )...( x − xn ) ([a, b] - khoảng chứa các nút xi) [ ] M = max f ( n +1) ( x) ; x ∈ a, b Gọi thì M π ( x) ; rn ( x) ≤ (n + 1)! -Ưu điểm của đa thức nội suy Lagrăng : đơn giản;- Nhược điểm : thêm một nút thì phải tính lại toàn bộ. 4. Đa thức nội suy Niutơn. a/ Sai phân hữu hạn. y = f(x) có giá trị yi = f(xi) tại các nút xi cách đều nhau với xi+1 – xi = h = const; i = 0, 1, 2, . . ., n x0 ; x1 = xo + h; x2 = x0 + 2h; . . .xi = xo + ih . . . Định nghĩa sai phân hữu hạn của hàm y = f(x): Sai phân cấp 1(hạng 1): Δyi = yi+1 – yi; Sai phân cấp hai: ;Δ2yi = Δyi+1 –Δyi ;Δ3yi = Δ2yi+1 –Δ2yi Sai phân cấp 3: Sai phân cấp n là sai phân của sai phân cấp n-1: ;Δnyi = Δ(Δn-1yi) = Δn-1yi+1 –Δn-1yi ∆yo = y1 − yo ; ∆2 yo = ( y2 − y1 ) − ( y1 − yo ) = y2 − 2 y1 + yo ; ∆3 yo = y3 − 3 y2 + 3 y1 − yo ; ..................... n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n yn−3 + (−1) n −1 y1 + (−1) n yo ;∆n yo = yn − yn −1 + yn − 2 − 1! 2! 3!b/ Đa thức nội suy Niutơn tiến (nội suy về phía phải). Trường hợp các nút cách đều, Niutơn đa th ức có ...
Tìm kiếm theo từ khóa liên quan:
tài liệu học môn toán sổ tay toán học nội suy xấp xỉ hàm số tích phânGợi ý tài liệu liên quan:
-
Báo cáo thí nghiệm về thông tin số
12 trang 213 0 0 -
Luận Văn: Ứng Dụng Phương Pháp Tọa Độ Giải Một Số Bài Toán Hình Học Không Gian Về Góc và Khoảng Cách
37 trang 101 0 0 -
700 Câu trắc nghiệm Tích phân có đáp án
90 trang 68 0 0 -
Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán (Tập 3)
335 trang 42 0 0 -
24 trang 37 0 0
-
Tài liệu môn Toán lớp 12 học kì 2 - Trường THCS&THPT Mỹ Thuận
61 trang 35 0 0 -
Toàn cảnh Nguyên hàm - Tích phân - Ứng dụng tích phân
22 trang 35 0 0 -
Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia môn Toán 12
379 trang 35 0 0 -
31 trang 35 1 0
-
0 trang 33 0 0