Chương 3: ĐỊNH THỨC

Sn là tập hợp tất cả các song ánh đi từ X vào X. Khi đó Sn có đúng n! phần tử. Mỗi phần tử Sn được gọi là một hóan vị hay một phép thế trên tập hợp Xvà nó có thể được biểu diễn bởi một ma trận loại 2 x n.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 3: ĐỊNH THỨC Chương 3: ĐỊNH THỨC3.1 Hoán vị Cho tập hợp X gồm n phần tử (ta có thể đồng nhất X = {1, 2, …, n}). ĐặtSn là tập hợp tất cả các song ánh đi từ X vào X. Khi đó Sn có đúng n! phần tử. Mỗi phần tử Sn được gọi là một hóan vị hay một phép thế trên tập hợp Xvà nó có thể được biểu diễn bởi một ma trận loại 2 x n. = ,trong đó ở dòng thứ nhất, các phần tử của tập X được sắp xếp theo một thứ tự nào đó,dòng thứ hai gồm ảnh của các phần tử tương ứng ở dòng thứ nhất qua song ánh .Ví dụ:Hoán vị S3 xác định bởi (3) = 1 có thể được mô tả như (1) = 2; (2) = 3;sau: =3.1.1. Định nghĩa: {1, 2, …, n}. Nếu Sn thỏa Cho X = {i1, i2, …, ir} (i1) = i2; (i2) = i3; j không thuộc X thì ta nói là một r – chu…; (ir-1) = ir; (ir) = i1 và (j) = j,trình (hay một chu trình dài r), và ký hiệu bởi = (i1 i2 …ir).Ví dụ: = có chu trình là = (1 2 3) r= có chu trình là r = (1 3).3.1.2. Định nghĩa: Hai chu trình (i1 … ir) và (j1 … js) được gọi là rời nhau nếu {i1, …, ir} {j1,…, js} = .3.1.3. Định lý: Mọi hoán vị e đều được phân tích thành tích các chu trình rời nhau.Ví dụ: = (1 6 3)(2 4).3.1.4. Định nghĩa: Sn. Ta nói rằng (i, j) tạo thành một nghịch thế đối với nếu Cho (i – j)[ (i) - (j)] < 0. Nếu số các nghịch thế đối với là k thì dấu của (ký hiệu sgn( )), là mộthàm được định nghĩa bởi sgn( ) = (-1)k. Nếu sgn( được gọi là hóan vị chẵn, nếu sgn( được ) = 1 thì ) = -1 thìgọi là hóan vị lẻ.3.2 Định thức của ma trận vuông3.2.1. Định nghĩa: Cho A = (aij) Mn(K). Định thức của A (ký hiệu |A|, hay det(A)) là một phầntử trong K được xác định bởi (với ( i= (i)). Định thức của một ma trận vuông cấp n trên K thường được gọi là một địnhthức cấp n. - Định thức cấp 2: = a11a22 – a12a21- Định thức cấp 3: (tính bằng quy tắc Sarruss) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)- (a31a22a13 + a32a23a11 +a33a21a12)Ví dụ: Tìm định thức của ma trậnA= , Ta có |A| = (4.3.4 + 1.1.5 + 2.2.1) – (2.3.5 + 4.1.1 + 1.2.4) =153.3 Tính chất căn bản của định thức Mệnh đề:3.3.1. Nếu A Mn (K) thì det(A) = det(AT). Mệnh đề:3.3.2. Nếu A Mn (K) có ít nhất một dòng là dòng 0, thì det(A) = 0. Mệnh đề:3.3.3. Cho A Mn (K), nếu A’ nhận được từ A bằng cách đổi chỗ 2 dòng i j thì det (A’) = - det(A) Hệ quả:3.3.4. Nếu 2 dòng của A Mn (K) có các hệ số tương ứng bằng nhau thì det(A) = 0. Mệnh đề:3.3.5. Nếu nhân một dòng của A Mn (K) với một phần tử c K thì det(A) tăng lên clần. Hệ quả:3.3.6. Nếu hai dòng của A Mn (K) có hệ số tương ứng tỉ lệ nhau thì det(A) = 0. Bổ đề:3.3.7. Mn (K) nếu các phần tử dòng i của A có dạng aij = bj + cj, j Cho A = (aij)= , thì det(A) = det(B) + det(C) với B, C là những ma trận có được từ A bằng cách thay dòng i của A bởi cácgiá trị bj và cj tương ứng. Mệnh đề:3.3.8. Cho A Mn (K), nếu A’ có được từ A qua phép biến đổi sơ cấp trên dòng loại(ii) thì det(A) = det (A’). Hệ quả:3.3.9. Nếu A’ Mn (K) có được từ A Mn (K) qua một số hữu hạn phép biến đổi sơcấp trên dòng loại (ii) thì det(A’) = det(A)