Chương 3: ĐỊNH THỨC (TT)

Giả sử A = (aij) Mn (K). Với mỗi i, j, phần tử cij = (-1)i + j det(A(i|j)) được gọi là phần bù đại số của aij. 3.5.3. Định lý: Giả sử A = (aij) 0 0Mn (K). Với mỗi i, j đặt cij là phần bù đại số của aij.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 3: ĐỊNH THỨC (TT) Chương 3: ĐỊNH THỨC (TT)3.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên cột Nhân cột i của A với c K (c 0), ký hiệu A (i) A’ Thay đổi i của A thành cột i cộng c lần cột j, c j, ký hiệu (ii) K, i A A’ Hoán vị cột i và cột j của A với nhau (i j), ký hiệu A (iii) A’3.5 Công thức khai triển định thứcCho A Mn (K) , ký hiệu A(i|j) là ma trận có được từ A bằng cách “xoá bỏ”dòng i và cột j của AVí dụ:A=3.5.1. Bổ đề:Cho A = (aij) Mn (K), nếu tồn tại i, j , sao cho aik = 0 k j thìdet A = (-1)i+j aij det (A(i|j))Ví dụ: = -d = (-d)c = abcd.3.5.2. Định nghĩa:Giả sử A = (aij) Mn (K). Với mỗi i, j, phần tử cij = ( -1)i + j det(A(i|j)) đượcgọi là phần bù đại số của aij.3.5.3. Định lý:Giả sử A = (aij) 0 0Mn (K). Với mỗi i, j đặt cij là phần bù đại số của aij.Khi đó Det (A) = (1) = (2)Công thức (1) được gọi là công thức khai triển định thức theo dòng p và côngthức (2) được gọi là công thức khai triển định thức theo cột q của A.Ví dụ: . Khi đó Cho A =C11 = = -13 ; C12 = - = -13; C13 = nên Det (A) = a11c11 + a12c12 + a 13c13 = 4(-13) + (-1)(13) + 2.13 = -393.5.4. Hệ quả:Nếu A = (aij) Mn (K) là một ma trận tam giác thì Det (A) = a11a22 .... ann3.6 Định lý Laplace Định nghĩa:3.6.1. Cho A = (aij) Mn(K). Chọn trong A các dòng i1, …, ik, (1 i1 < … n) và các c ột j1, …, jk, (1 n). Ký hiệu A(i1, …, ik|j1, …được gọi là một định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng i1, …, ik và cáccột j1, …, jk; được gọi là phần bù đại số củaM. Bổ đề:3.6.2. Cho A Mn(K). Tích của một định thức con cấp k của với phần b ù đại sốcủa nó có dạng của k!(n – k)! tích trong det(A). Định lý (Laplace)3.6.3. Cho A Mn(K). Chọn trong A các dòng i1 < … < ik. Khi đó Det(A) = ,trong đó M là định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng i1, …, ik và các c ộtj1, …, jk; M’ là phần bù đại số của M.Ví dụ: , khai triển theo dòng 1 và dòng 4.|A| =3.7 Định thức và ma trận khả nghịch3.7.1. Bổ đề: Nếu A, S Mn (K) và S là m ột ma trận sơ cấp thì det (S.A) = det (S) det(A) và det(S) 03.7.2. Định lý:Cho A Mn (K). Khi đó A khả nghịch nếu và chỉ nếu det (A) 0.3.7.3. Định lý: Nếu A, B Mn (K) thì |A.B| = |A||B|.3.7.4. Hệ quả: Nếu A, A1, A2, ... , AK Mn (K) thì (i) |A1A2 ... Ak| = |A1||A2|| ... |Ak| (ii) |Am| = |A|m , m N (iii) Nếu A khả nghịch thì |A-1| = |A|-13.7.5. Định lý:Cho A = (aij) Mn (K), với mỗi i, j đặt cij là phần bù đại số của aij và C = (cij) Mn(K).Khi đó: A.CT = CTA = |A|InSuy ra, nếu A khả nghịch thì A-1 = |A|-1CTMa trận CT trong định lý trên được gọi là ma trận phó của A, ký hiệu adj (A)Ví dụ: 0 nên A khả nghịch A= , |A| = 2Ta có:c11 = = 6, c12 = - = -6, c13 = = 2,c21 = - = -5, c22 = = 8, c23 = - = -3,c31 = = 1, c32 = - = -2, c33 = =1C= = => A-1 =3.8 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tínhCho một hệ gồm n phương trình tuyến tính n ẩn trên K (*)Đặt A = ,B= ta gọi Aj là ma trận có được từ A bằng cách thay các phần tử cột jcủa A bởi các phần tử của cột B.3.8.1. Bổ đề:Nếu (c1, ... , cn) là một nghiệm của hệ (*) thì |A|cj = |Aj| ,3.8.2. Định lý:Với hệ phương trình tuyến tính (*) (i) Nếu |A| 0 thì (*) có nghiệm duy nhất X = (x1, x2, ... , xn) , với xj = (ii) Nếu |A| = 0 và tồn tại j 0 thì (*) vô nghiệm sao cho |Aj| (iii) Nếu |A| = 0 và |Aj| = 0 , thì (*) không có nghiệm duy nhất(trong trường hợp này nếu muốn biết hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm thì taphải dùng phương pháp Gauss – Jordan để giải lại)Ví dụ: Giải và biện luận (theo tham số m) hệ ph ương trình tuyến tính:Hệ phương trình trên có dạng AX = B với A= ;X= ;B= Khi đó |A| = (m–1)(m-3); |A1| = 4(3-m); |A2| = 0 và |A3| = 2(m -3)· Nếu |A| 3) thì hệ có nghiệm duy nhất là 0 ( m 1 và m x1 = = ; x2 = ...