CHƯƠNG 3: NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

Trongthựctếnhiềukhitacầntínhgiátrịcủahàmy=f(x)tạimộtgiátrị x trong một đoạn [a, b] nào đó mà chỉ biết một số nhất định các giá trị của hàm tại một số điểm cho trước. Các giá trị này được cung cấp qua thực nghiệmhaytínhtoán.Vìvậynảysinhvấnđềtoánhọclàtrênđoạna≤x≤b chomộtloạtcácđiểmxi(i=0,1,2...)vàtạicácđiểmxinàygiátrịcủahàmlà yi =f(xi)đãbiếtvàtacầntìmy=f(x)dựatrêncácgiátrịđãbiếtđó.Lúcđóta cầntìmđathức: Pn(x)=aoxn+a1xn‐1+…+an‐1x+an...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNG 3: NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM CHƯƠNG 3: NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM §1.NỘISUYLAGRANGE Trongthựctếnhiềukhitacầntínhgiátrịcủahàmy=f(x)tạimộtgiátrịx trong một đoạn [a, b] nào đó mà chỉ biết một số nhất định các giá trị củahàm tại một số điểm cho trước. Các giá trị này được cung cấp qua thựcnghiệmhaytínhtoán.Vìvậynảysinhvấnđềtoánhọclàtrênđoạna≤x≤bchomộtloạtcácđiểmxi(i=0,1,2...)vàtạicácđiểmxinàygiátrịcủahàmlàyi =f(xi)đãbiếtvàtacầntìmy=f(x)dựatrêncácgiátrịđãbiếtđó.Lúcđótacầntìmđathức: Pn(x)=aoxn+a1xn‐1+…+an‐1x+ansaochoPn(xi)=f(xi)=yi.ĐathứcPn(x)đượcgọilàđathứcnộisuycủahàmy=f(x). Ta chọn đa thức để nội suy hàm y = f(x) vì đa thức là loại hàm đơngiản,luôncóđạohàmvànguyênhàm.ViệctínhgiátrịcủanótheothuậttoánHornercũngđơngiản. BâygiờtaxâydựngđathứcnộisuykiểuLagrange.GọiLilàđathức: ( x − x0 )...( x − xi −1 )( x − xi + 1 )...( x − x n ) Li = ( xi − x 0 )...( xi − xi −1 )( x i − x i + 1 )...( x i − x n ) RõrànglàLi(x)làmộtđathứcbậcnvà: ⎧1 j=i L i (x j ) = ⎨ ⎩0 j≠iTagọiđathứcnàylàđathứcLagrangecơbản. Bâygiờtaxétbiểuthức: n Pn ( x) = ∑ f( x i )L i ( x) i =0 Ta thấy Pn(x) là một đa thức bậc n vì các Li(x) là các đa thức bậc n vàthoảmãnđiềukiệnPn(xi)=f(xi)=yi.TagọinólàđathứcnộisuyLagrange. Vớin=1tacóbảng x x0 x1 y y0 y 1Đathứcnộisuysẽlà: P1(x)=yoL0(x)+y1L1(x1) x − x1 x − x0 L0 = L 1 = x 0 − x1 x1 − x 0 210 x − x1 x − x0nên P1 ( x) = y 0 + y1 x 0 − x1 x1 − x 0NhưvậyP1(x)làmộtđathứcbậcnhấtđốivớix Vớin=2tacóbảng x x0 x1 x2 y y 0 y1 y2Đathứcnộisuysẽlà: P2(x)=yoL0(x)+y1L1(x1)+y2L2(x2) ( x − x1 )( x − x 2 ) L0 = ( x 0 − x1 )( x0 − x 2 ) ( x − x0 )( x − x 2 ) L1 = ( x1 − x0 )( x1 − x 2 ) ( x − x 0 )( x − x1 ) L2 = ( x 2 − x 0 )( x 2 − x1 )NhưvậyP1(x)làmộtđathứcbậchaiđốivớix.Ta xây dựng hàm lagrange() để thực hiện việc nội suy hàm theo thuật toánLagrange: function[l,L]=lagrange(x,y) %Duavao:x=[x0x1...xn],y=[y0y1...yn] %ketqua:l=HesocuadathucLagrangebacn %L=DathucLagrange n=length(x)‐1;%baccuadathucl l=0; form=1:n+1 p=1; fork=1:n+1 ifk~=m p=conv(p,[1‐x(k)])/(x(m)‐x(k)); end end L(m,:)=p;%dathucLagrange l=l+y(m)*p; end 211Chohàmdướidạngbảng: x ‐2 ‐1 1 2 y ‐6 0 0 6vàtìmy(2.5)tadùngchươngtrìnhctlagrange.m: clearall,clc x=[‐2‐112]; y=[‐6006]; l=lagrange(x,y); yx=polyval(l,2.5) §2.NỘISUYNEWTON BâygiờtaxétmộtcáchkhácđểxâydựngđathứcnộisuygọilàphươngphápNewton.Trướchếttađưavàomộtkháiniệmmớilàtỉhiệu Giảsửhàmy=y(x)cógiátrịchotrongbảngsau: x x0 x1 x2 … xn‐1 xn y y0 y1 y2 … yn‐1 yn Tỉhiệucấp1củaytạixi,xjlà: yi − y j y[x i , x j ] = xi − x j Tỉhiệucấphaicủaytạixi,xj,xklà: y[x i , x j ] − y[x j , x k ] y[xi , x j , x k ] = xi − xkv.v. Vớiy(x)=Pn(x)làmộtđathứcbậcnthìtỉhiệucấp1tạix,x0: P ( x) − Pn ( x0 ) Pn [x , x0 ] = n x − x0làmộtđathứcbậc(n‐1).Tỉhiệucấp2tạix,x0,x1: P [x , x0 ] − Pn [x0 , x1 ] Pn [x , x 0 , x1 ] = n x − x1làmộtđathứcbậc(n‐2)v.vvàtớitỉhiệucấp(n+1)thì: 212 Pn[x,xo,..,xn]=0 Từcácđịnhnghĩatỉhiệutasuyra: Pn(x)=Pn(x0)+(x‐x0)Pn[x,xo] Pn[x,x0]=Pn[x0,x1]+(x‐x1)Pn[x,xo,x1] Pn[x,xo,x1]=Pn[x0,x1,x2]+(x‐x2)Pn[x,xo,x1,x2] ............ Pn[x,xo,..,xn‐1]=Pn[x0,x1,..,xn]+(x‐xn)Pn[x,xo,..,xn]Do Pn[x,xo,..,xn]=0nêntừđótacó: Pn(x)=Pn(x0)+(x‐x0)Pn[xo,x1]+(x‐x0)(x‐x1)Pn[x0,x1,x2]+… +(x‐x0)…(x‐xn‐1)Pn[x0,…,xn]NếuPn(x)làđathứcnộisuycủahàmy=f(x)thì: Pn(xi)=f(xi)=yivớii=0÷n ...