Chương 4 BIẾN ĐỔI Z

Chương này giới thiệu biến đổi z mà rất hữu ích trong phân tích và thiết kế hệ thống DSP (hoặc DTSP), giống như biến đổi Laplace cho hệ thống tương tự (hoặc liên tục thời gian). Phân tích Fourier được phát triển cho miền liên tục thời gian nhưng cũng hữu ích cho tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian. Ta sẽ thấy biến đổi z và biến đổi Fourier liên hệ với nhau. Ta chọn để trình bày biến đổi z sau phân tích Fourieer như nhiều tác giả khác đã làm, nhưng theo trật tự...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4 BIẾN ĐỔI Z 1Chương 4 BIẾN ĐỔI ZChương này giới thiệu biến đổi z mà rất hữu ích trong phân tích và thiết kế hệ thống DSP (hoặcDTSP), giống như biến đổi Laplace cho hệ thống tương tự (hoặc liên tục thời gian). Phân tích Fourierđược phát triển cho miền liên tục thời gian nhưng cũng hữu ích cho tín hiệu và hệ thống rời rạc thờigian. Ta sẽ thấy biến đổi z và biến đổi Fourier liên hệ với nhau. Ta chọn để trình bày biến đổi z sauphân tích Fourieer như nhiều tác giả khác đã làm, nhưng theo trật tự ngược lại cũng thường thấy. Chủ đề chính là: định nghĩa biến đổi z, hữu ích đôi biến đổi, thuộc tính biến đổi, vẽ cực vàkhông, vùng hội tụ, sự ổn định của hệ thống, biến đổi ngược, biến đổi z một bên, lọc bậc hai, đáp ứngchuyển tiếp và hệ thống với điều kiện đầu4.1 BIẾN ĐỔI ZPhần mở đầu bao gồm nhiều khía cạnh khác nhau của biến đổi z. Giống như những biến đổi khác,biến đổi z áp dụng cho cả tín hiệu và hệ thống rời rạc. Ta biết rằng một hệ thống được đặc trưng bởiphương trình tín hiệu vào ra, hoặc đáp ứng xung của nó, hoặc đáp ứng tần số. Tóm lại ta sẽ thấy đặctính thứ tư của hệ thống.4.1.1 Định nghĩa: Biến đổi z X(z) của một tín hiệu rời rạc thời gian x(n) được định nghĩa như ∞  x (n )z -n X(z) = (4.1) n= 0z là một biến phức của miền biến đổi và có thể xem như tần số phức (xem hình 4.5). Nhớ rằng chỉ sốn có thể là thời gian, không gian hoặc một số thứ khác, nhưng thường là thời gian. Như định nghĩatrên, X(z) là chuỗi mũ nguyên của z 1 tương ứng với những hệ số x(n). Khai triển X(z) để thấy điềunày:   x ( n) z n = x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2 + . . . X(z) = (4.2) n 0 Trong công thức (4.1) tổng được lấy từ n = 0 đến  , X(z) không liên hệ với thời gian quá khứx(n). Đây là biến đổi z một b ên. Biến đổi z một bên có thể có thể với điều kiện đầu của x(n) (phần4.7). Nhìn chung, tín hiệu tồn tại tại mọi thời gian, và biến đổi z hai bên được định nghĩa như: ∞ ∞ x  n  z -n X(z) = n= - 1 2 2 = …x(-2)z + x(-1)z + x(0) + x(1)z + x(2)z + … (4.3) 1Vì X(z) là một chuỗi mũ vô hạn của z , biến đổi chỉ tồn tại những giá trị nơi chuỗi hội tụ (tiến tớikhông khi n   hoặc -  ). Vì vậy biến đổi z liên hệ mật thiết với vùng hội tụ (ROC) nơi nó là hữuhạn (phần 4.4). Để phân biệt, ta chú thích X  ( z ) cho biến đổi z một bên.Ví dụ 4.1.1Tìm biểu diễn toán học của tín hiệu trong hình 4.1, sau đó tìm biến đổi z.Giải (a) Chú ý tín hiệu là nhân quả và giảm đều , nó có giá trị 0.8 n với n  0. Vì vậy ta viết x(n) = 0.8n u(n)và sử dụng biến đổi (4.1) 2   x ( n) z n X(z) = n 0 = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 +… = 1 + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + …Ap dụng công thức chuỗi hình học vô hạn (2.8)  1 x , x< 1 n 1 + x + x2 + x3 + … = = (4.4) 1 x n 0Với x  0.8z 1 ta có 1 z X(z) = = 1 z  0.8 1  0.8 zKết quả có hình thức của cả hai bên. Điều kiện | 0.8 z 1 |  1 nghĩa | z |  0.8 . x(n) x(n) 1 0.8 1.44 0 ...