Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc

Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý pháttriển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trênmáy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đốilớn. Để tính X(k), ứng với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và(N-1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N2 phépnhân và N(N-1) phép cộng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc Chương : 4BIỂU I N N I U Ệ ỐN G O N G D Ễ TÍ H Ệ VÀ H TH TR M I N ẦN Ố ỜIR ẠC Ề T S R 4.1 KHÁI NiỆM DFT4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT4.4 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z & FT TỪ DFT4.5 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)  14.1 KHÁI NiỆM DFT −∞Biến đổi Fourier dãy X ( e jω ) = ∑ x( n )e − jωn n =∞ x(n):X(ω ) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính: Tần số ω liên tục Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞Khi xử lý X(Ω) trên thiết bị, máy tính cần: Rời rạc tần số ω -> ω K Độ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0 ÷ N -1 ⇒ Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT (Discrete Fourier Transform)  2 DFTcủax(n) có độ dài N định nghĩa: 2π  N −1 − j kn  ∑ x ( n )e N : 0 ≤ k ≤ N − 1 X ( k ) =  n =0 0 : k còn lại   N −1 ∑ 2π −j x(n)WN : 0 ≤ k ≤ N − 1 knWN = e N X ( k ) =  n =0 0 : k còn lại  WN tuần hoàn với độ dài N: 2π 2π −j ( r + mN ) −j rWNr + mN ) = e ( N =e N = WN r  3 X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument: jϕ ( k ) X (k ) = X (k ) e X (k ) - phổ rời rạc biên độTrong đó: ϕ (k ) = arg[ X (k )] - phổ rời rạc pha 2π 1 N −1 j kn  IDFT: x(n) =  N ∑ X ( k )e N : 0 ≤ n ≤ N −1 k =0 0 : n còn lại  Cặp biến đổi Fourier rời rạc:  N −1  X ( k ) = ∑ x( n)WN kn : 0 ≤ k ≤ N −1  n =0  x ( n) = 1 N −1  ∑ X (k )WN−kn : 0 ≤ n ≤ N −1 N k =0   4 Ví dụ 4.2.1: Tìm DFTcủa dãy: x(n) = 1,2,3,4 ↑ { } 3 2πX ( k ) = ∑ x ( n)W kn −j n= 0 4 W =e 1 4 4 = − j; W = −1;W = j 4 2 4 3 3X (0) = ∑ x(n)W40 = x(0) + x(1) + x(2) + x(3) = 10 n =0 3X (1) = ∑ x(n)W4n = x(0) + x(1)W41 + x(2)W42 + x(3)W43 = −2 + j 2 n =0 3X (2) = ∑ x(n)W42 n = x(0) + x(1)W42 + x(2)W44 + x(3)W46 = −2 n =0 3X (3) = ∑ x(n)W43 n = x(0) + x(1)W43 + x(2)W46 + x(3)W49 = −2 − j 2 n =0  5 Ví dụ: 4.2.2: a) Tìm FT của dãy x(n)=an u(n), với /a/ Biến đổi DFT của x(n): ( ) 1− aN N −1 N −1 k n X (k ) = ∑ a nWN = ∑ aW kn N = n =0 n =0 1 − aWNk 1− aN X (k ) = 2π 1 − 2a cos k + a2 N 2π a sin k arg[ X (k )] = arctg N 2π a cos k −1 ...