Chương 4 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

4.1 Giải gần đúng phương trình Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0, ta phải tách nghiệm. Giả sử trong khoảng [a,b] hàm f(x) liên tục cùng với các đạo hàm f’(x), f”(x), của nó. Các giá trị f(a), f(b) là giá trị của hàm tại các điểm mút của đoạn này f(a).f(b)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾNKhoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNHChương 4 VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN ROOTS OF NONLINEAR EQUATIONS4.1 Giải gần đúng phương trình Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0, ta phải tách nghiệm. Giả sử trong khoảng [a,b] hàm f(x) liên tục cùng với các đạo hàm f’(x), f”(x),của nó. Các giá trị f(a), f(b) là giá trị của hàm tại các điểm mút của đoạn này f(a).f(b)< 0 và f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a , b]. Đôi khi để cho thuận lợi, viết lại: f(x) = 0   (x) =  (x). Nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 là giao điểm của đồ thị các hàm y = (x) và y =  (x).4.1.1 Phương pháp dây cung Thay cung AB của y = f(x) bởi dây cung AB, lấy x1 tại giao điểm P của dâycung với trục hoành làm giá trị gần đúng của nghiệm chính xác . Phương trình dây ycung AB: Y  f (a ) Xa  f ( b)  f ( a ) b  a B Tại P ta có: Y = 0, X = x1, x a f (a ) 1 aPnên:  f ( b)  f ( a ) b  a X1  O b x A (b  a )f (a ) af (b)  bf (a ) Suy ra: x1 = a - f (b)  f (a ) f (b)  f (a ) Sau khi tính được x1 ta xét được khoảng phân li nghiệm mới là [a,x1] hay[x1,b] rồi tiếp tục áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng phân li mới, tiếp tục tađược x2, x3, x4  ngày càng gần đến nghiệm chính xác . f (a).f ( b) f (x ) Sai số ước lượng:   x 1   max [ f ( x )] 3 2 Trang: 37Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp TínhKhoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Ví dụ: Tìm nghiệm trong khoảng (1,1;1,4) của phương trình: f(x)= x3-0,2x2-0,2x-1,2 =0 Bằng phương pháp lặp dây cung(Với 2 lần lặp) Giải: f (1,1)(1,1  1,4) f ( xo )( xo  1,4) (0,331)(0,3) x1 = x0- =1,1- =1,1-  1,18254 f (1,1)  f (1,4)  0,331  0,872 f ( x0 )  f (1,4) f(x1)=f(1,18254)=-0,06252 f ( x1 )( x1  1,4) (0,06252)(1,18254  1,4) x2 = x1- =1,18254-  1,19709  0,06252  0,872 f ( x1 )  f (1,4)4.1.2 Phương pháp Newton-Raphson Còn gọi là phương pháp Newton hay phương pháp tiếp tuyến. Xét phương trình f(x) = 0 Khai triển Taylor hàm f(x) tại lân cận x0: f(x) = f(x0) + (x - x0) f’(x0) + ( x  x0 ) 2 ( x  x0 ) n n ( x  x0 ) n 1 n 1 f ( x 0 )  ....  f ( x0 )  f (C ) n! ( n  1)! 2! Với: C = x0 + (x - x0), với: 0 <  < 1, có nghĩa: x0 < C < x Bây giờ ta chỉ lấy số hạng bậc 1 của chuỗi Taylor: f(x0) + ( x - x0).f’(x0) = 0 (4.1) f (x 0 ) Gọi x1 là nghiệm của (4.1), ta có: x1 = x0 - f (x 0 ) f (x n ) f ( x1 ) Tương tự: x2 = x1 - ,…, xn + 1 = xn - , với x0  [a,b] f (x n ) f ( x1 ) Vì (4.1) dùng thay cho phương trình f(x) = 0, nó tuyến tính đối với x nênphương pháp Newton cũng gọi là phương pháp tuyến tính hóa, f’(x0) chính là hệ sốgóc của y = f(x) tại x0 . ...