Chương 4 : Kiểm tra tính nguyên tử

Tuỳ vào bạn, nhưng đây là một phương pháp quan trọng để thể hiện sư liên quan của các các màu sắc. Đây là các màu phù hợp với kiểu phối 3 màu. Đây không phải là kiểu mà bạn nghĩ về bánh xe màu
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4 : Kiểm tra tính nguyên tửKiÓm tra tÝnh nguyªn tè x¸c suÊt §Ó thiÕt lËp hÖ mËt RSA, ta ph¶i t¹o ra c¸c sè nguyªn tè ngÉunhiªn lín (ch¼ng h¹n cã 80 ch÷ sè). Trong thùc tÕ, ph¬ng c¸ch thùchiÖn ®iÒu nµy lµ: tríc hÕt ph¶i t¹o ra c¸c sè ngÈu nhiªn lín, sau ®ãkiÓm tra tÝnh nguyªn thuû cña chóng b»ng c¸ch dïng thuËt to¸n x¸csuÊt Monte- Carlo thêi gian ®a thøc (ch¼ng h¹n nh thuËt to¸nMiller- Rabin hoÆc lµ thuËt to¸n Solovay- Strasen). C¶ hai thuËt to¸ntrªn ®Òu ®îc tr×nh bµy trong phÇn nµy. Chóng lµ c¸c thuËt to¸nnhanh (tøc lµ mét sè nguyªn n ®îc kiÓm tra trong thêi ®a thøc theolog2n, lµ sè c¸c bÝt trong biÓu diÖn nhÞ ph©n cña n). Tuy nhiªn, vÉn cãkh¶ n¨ng lµ thuËn to¸n cho r»ng n lµ sè nguyªn tè trong khi thùc tÕ nlµ hîp lÖ sè. Bëi vËy, b»ng c¸ch thay ®æi thuËt to¸n nhiÒu lÇn, cã thÓgi¶m x¸c suÊt sai sè díi mét møc ngìng cho phÐp (sau nµy sÏ th¶oluËn kü h¬n mét chót vÒ vÊn ®Ò nµy). Mét vÊn ®Ò quan träng kh¸c: lµ cÇn ph¶i kiÓm tra bao nhiªu sènguyªn ngÉu nhiªn (víi kÝch th¬c x¸c ®Þnh)cho tíi khi t×m ®îc métsè nguyªn tè. Mét kÕt qu¶ nçi tiÕng trong lý thuyÕt sè (®îc gäi lµ®Þnh lý sè nguyªn tè) ph¸t biÓu r»ng: sè c¸c sè nguyªn tè kh«ng lính¬n N xÊp xØ b»ng N/ln N. Bëi vËy, nÕu p ®îc chän ngÉu nhiªn th×x¸c suÊt p lµ mét sè nguyªn tè sÏ vµo kho¶ng 1/ln p. Víi mét mo®un512 bÝt, ta cã 1/ln p  1/77. §iÒu nµy cã nghÜa lµ tÝnh trung b×nh, c177 sè nguyªn ngÉu nhiªn p víi kÝch thíc t¬ng øng sÏ cã mét sè lµsè nguyªn tè. DÜ nhiªn, nÕu chÜ h¹n chÕ xÐt c¸c sè nguyªn lÎ th× x¸csuÊt sÏ t¨ng gÊp ®«i tíi kho¶ng 2/177). Bìi vËy trªn thùc tÕ, hoµntoµn cã kh¶ n¨ng t¹o ®îc c¸c nguyªn tè ®ñ lín vµ do ®ã vÒ mÆt thùcthÓ ta cã thÓ thiÕt lËp ®îc mét hÖ mËt RSA. Sau ®©y sÏ tiÕp tôc xemxÐt ®iÒu nµy ®îc thùc hiªn nh thÕ nµo.Mét bµi to¸n quyÕt ®Þnh lµ mét bµi to¸n to¸n trong ®ã mét c©u háicÇn ®îc tr¶ lêi “cã” hoÆc “kh«ng”. Mét thuËt to¸n x¸c suÊt lµ métthuËt to¸n bÊt kú cã sö dông c¸c sè ngÉu nhiªn (ngîc l¹i, thuËt to¸nkh«ng sö dông c¸c sè ngÉu nhiªn sÏ ®îc gäi lµ mét thuËt to¸n tÊt®Þnh). C¸c ®Þnh nghÜa sau cã liªn quan tíi c¸c thuËt to¸n x¸c suÊt choc¸c bµi to¸n quyÕt ®Þnh.§Þnh nghÜa 4.1 ThuËt to¸n Monte Carlo ®Þnh híng “cã” lµ mét thuËt to¸n x¸csuÊt cho mét bµi to¸n quyÕt ®Þnh, trong ®ã c©u tr¶ lêi “cã” lu«n lu«nlµ ®óng cßn c©u tr¶ lêi “kh«ng” cã thÓ lµ sai. ThuËt to¸n Monte Carlo®Þnh híng “kh«ng“ còng ®îc ®Þnh nghÜa theo c¸ch t¬ng tù.Chóng ta nãi r»ng, mét thuËt to¸n Monte Carlo ®Þnh híng “cã” cãx¸c suÊt sai b»ng  nÕu víi bÊt kú mæt trêng hîp nµo mµ c©u tr¶ lêilµ “cã” th× thuËt to¸n cã c©u tr¶ lêi sai “kh«ng” víi x¸c suÊt kh«nglín h¬n  (x¸c suÊt nµy ®îc tÝnh trªn mäi phÐp chon ngÉu nhiªn, cãthÓ thùc hiªn bëi thuËt to¸n víi mét c©u vµo ®· cho). Bµi to¸n quyÕt ®Þnh ë ®©y lµ bµi to¸n hîp lÖ sè m« t¶ ë h×nh4.5.CÇn chó ý r»ng mét thuËt to¸n quyÕt ®Þnh chØ cã c©u tr¶ lêi “cã” hoÆc“kh«ng” ®Æc biÖt trong bµi to¸n hîp lÖ sè lµ ta kh«ng yªu cÇu thuËtto¸n tÝnh tÝch thõa sè khi n lµ hîp lÖ sè. Tríc tiªn ta sÏ m« t¶ thuËt to¸n Soloway- Strasson. §©y lµmét thuËt to¸n Monte- Carlo ®Þnh híng “cã” cho bµi to¸n hîp sè cãTríc tiªn ta sÏ m« t¶ thuËt to¸n Soloway- Strasson. §©y lµ métthuËt to¸n Monte-Carlo ®Þnh híng “cã” cho bµi to¸n hîp sè vµ x¸cxuÊt sai 1/2. Bëi vËy, nÕu thuËt to¸n tr¶ lêi “cã” th× n lµ hîp sè;ngîc l¹i nÕu n lµ hîp sè th× thuËt to¸n tr¶ lêi “cã” víi x¸c xuÊt tèithiÓu 1/2. H×nh 4.5. Bµi to¸n hîp sè. §Æc trng cña bµi to¸n: mét sè nguyªn d¬ng n  2 C©u hái: n cã ph¶i lµ hîp sè kh«ng ? H×nh 4.6. Bµi to¸n vÒ c¸c thÆng d bËc hai. §Æc trng cña bµi to¸n: cho p lµ mét sè nguyªn tè lÎ vµ mét sè nguyªn x sao cho 0  x  p-1 C©u hái: x cã ph¶i lµ thÆng d bËc hai phÐp modulo p ? MÆc dï thuËt to¸n Miller-Rabin (ta sÏ xÐt sau) nhanh h¬nthuËt to¸n Soloway-Strasson (S-S) nhng ta sÏ xÐt thuËt to¸n S-Stríc v× nã dÔ hiÓu h¬n vÒ kh¸i niÖm, ®ång thêi l¹i liªn quan tíi métsè vÊn ®Ò cña lý thuyÕt sè (mµ ta sÏ cßn dïng trong c¸c ch¬ng tr×nhsau). Ta sÏ x©y dùng mét sè nÒn t¶ng s©u s¾c h¬n trong lý thuyÕt sètríc khi m« t¶ thuËt to¸n.§Þnh nghÜa 4.2. Gi¶ sö p lµ mét sè nguyªn tè lÎ vµ x lµ mét sè nguyªn, 1  x p-1. x ®îc gäi lµ thÆng d bËc hai theo modulo p nÕu ph¬ng tr×nh®ång d y2  x (modulo p) cã mét nghiÖm yZp x ®îc gäi lµ thÆngd kh«ng bËc hai theo modulo p nÕu x ??? 0 (mod p) vµ x kh«ng ph¶ilµ thÆng d bËc hai theo modulo p.VÝ dô 4.6.C¸c thÆng d bËc hai theo modulo 11 lµ 1,3,4,5 vµ 9. CÇn ®Ó ý r»ng,(1)2=1, (5)2=3, (2)2=4, (4)2=5, (3)2=9 (ë ®©y tÊt c¶ c¸c phÐp sèhäc ®Òu thùc hiÖn trong Z11). Bµi to¸n quyÕt ®Þnh thÆng d bËc hai ®îc tr×nh bµy trªn h×nh4.6 sÏ ®îc thÊy mét c¸ch t¬nngf minh nh sau: Tríc hÕt, ta sÏ chøng minh mét kÕt qu¶- tiªu chuÈn Euler –t¹o nªn thuËt to¸n tÊt ®Þnh theo thêi gian ®a thøc cho bµi to¸n vÒ c¸cthÆng d bËc hai.§Þnh lý 4.8. (Tiªu chuÈn Euler) Gi¶ sö p lµ mét sè n ...