Chương 4: Nguyên tử

Ngay khi vừa mời ra đời lý thuyết lượng tử đã được ứng dụng để giải quyết bài toán nguyên tử, là lĩnh vực mà lý thuyết cổ điển (cơ học, điện từ học) không giải thích được. Trong chương này chúng ta sẽ khảo sát phương trình Schroedinger cho electron trong nguyên tử; xem xét các kết quả chính nhận được khi giải phương trình này; rút ra những kết luận và so sánh với kết quả thực nghiệm....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4: Nguyên tử Chöông 4 NGUYEÂN TÖÛ Ngay khi vöøa môøi ra ñôøi lyù thuyeát löôïng töû ñaõ ñöôïc öùng duïng ñeå giaûi quyeát baøi toaùnnguyeân töû, laø lónh vöïc maø lyù thuyeát coå ñieån (cô hoïc, ñieän töø hoïc) khoâng giaûi thích ñöôïc. Trong chöông naøy chuùng ta seõ khaûo saùt phöông trình Schroedinger cho electrontrong nguyeân töû; xem xeùt caùc keát quaû chính nhaän ñöôïc khi giaûi phöông trình naøy; ruùt ranhöõng keát luaän vaø so saùnh vôùi keát quaû thöïc nghieäm. Ñeå ñôn giaûn, chuùng ta seõ chæ xeùttröôøng hôïp nguyeân töû moät electron.4.1) NGUYEÂN TÖÛ MOÄT ELECTRON Xeùt heä goàm moät haït nhaân coù ñieän tích Ze (Z = 1,2,..) ñöùng yeân vaø moät electron khoáilöôïng me chuyeån ñoäng chung quanh nhaân. Theá naêng cuûa electron taïi khoaûng caùch r töøhaït nhaân laø (tröôøng Coulomb) U = − Ze2/4πεor.1) Phöông trình Schroedinger Thay U vaøo (3.7) vaø bieán ñoåi, ta ñöôïc phöông trình Schroedinger cho electron 2me Ze 2 ∆ψ + 2 ( E + )ψ = 0. (4.1) h 4πε o r Ñaây laø baøi toaùn 3 chieàu, nhöng coù tính ñoái xöùng caàu, neân toát nhaát laø duøng heä toïa ñoäcaàu. Baèng caùch vieát daïng cuûa toaùn töû Laplace theo toïa ñoä caàu ta ñöôïc phöông trìnhSchroedinger coù daïng 1 ∂ ⎛ 2 ∂Ψ ⎞ ∂ ⎛ ∂Ψ ⎞ ∂ 2 Ψ 2m + 2 (E − U(r ) )Ψ = 0 1 1 ⎜ r ⎟ + 2 ⎜ sin θ ⎟ + 2 (4.2)r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r sin 2 θ ∂ϕ 2 h Chuù yù tôùi toaùn töû moment goùc quó ñaïo bình phöông, phöông trình (4.2) coù theå vieátgoïn trong daïng: 42 1 ∂ ⎛ 2 ∂Ψ ⎞ ⎟ − 2 2 L Ψ + 2 (E − U (r ) )Ψ = 0 1 ˆ2 2m ⎜r (4.3) r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r h 2 h Giaûi phöông trình baèng phöông phaùp phaân ly bieán soá, ta ñaët: Ψ ( r, θ, ϕ) = R ( r )T (θ)F(ϕ) (4.4) Ta coù theå chuyeån caùc ñaïo haøm rieâng thaønh ñaïo haøm thöôøng moät bieán: ∂Ψ ∂R dR = TF = TF ∂r ∂r dr ∂Ψ ∂T dT = RF = RF ∂θ ∂θ dθ ∂ Ψ 2 ∂ F 2 d2F = RT 2 = RT 2 ∂ϕ 2 ∂ϕ dϕ Thay (4.4) vaøo (4.3), sau khi chuyeån qua ñaïo haøm thöôøng, ta nhaân phöông trình thuñöôïc vôùi r 2 sin 2 θ roài chia phöông trình cho R ( r )T (θ ) F (ϕ ) ta ñöôïc: sin 2 θ d ⎛ 2 dR ⎞ sin θ d ⎛ dT ⎞ 1 d 2 F 2mr 2 sin 2 θ ⎛ e 2 ⎞ ⎜r ⎟+ ⎜ sin θ ⎟ + + ⎜K + E⎟ = 0 ⎜ r ⎟ R dr ⎝ dr ⎠ T dθ ⎝ dθ ⎠ F dϕ 2 h 2 ⎝ ⎠ Saép xeáp laïi phöông trình, ñöa soá haïng chæ phuï thuoäc ϕ veà moät veá, caùc soá haïng chæphuï thuoäc (r , θ ) veà moät veá, ta ñöôïc: sin 2 θ d ⎛ 2 dR ⎞ sin θ d ⎛ dT ⎞ 2mr 2 sin 2 θ ⎛ e 2 ⎞ 1 d2F ⎜r ⎟+ ⎜ sin θ ⎟ + ⎜K + E⎟ = − ⎜ r ⎟ R dr ⎝ dr ⎠ T dθ ⎝ dθ ⎠ h2 ⎝ ⎠ F dϕ 2 Phöông trình naøy chæ ñöôïc nghieäm ñuùng neáu caû hai veá ñeàu cuøng baèng moät haèng soá.Ñeå thuaän lôïi cho vieäc tính toaùn ta ñaët haèng soá naøy laø ml2 . Töø ñoù ta coù phöông trình choF(ϕ ): 1 d2F − = ml 2 (4.5) F dϕ 2vaø: sin 2 θ d ⎛ 2 dR ⎞ sin θ d ⎛ dT ⎞ 2mr 2 sin 2 θ ⎛ e 2 ⎞ ⎜ r ⎟ + ⎜ sin θ ⎟ + ⎜ K + E ⎟ = ml2 ⎜ r ⎟ R dr ⎝ dr ⎠ T dθ ⎝ dθ ⎠ h 2 ⎝ ⎠ Chia hai veá phöông trình treân cho sin2θ roài chuyeån caùc soá haïng phuï thuoäc r veà moätveá, phuï thuoäc goùc θ veà veá coøn laïi. Moãi veá baây giôø cuõng phaûi baèng cuøng moät haèng soá.Haèng soá naøy ta ñaët laø l(l+1). Ta thu ñöôïc: 2 ml 1 d ⎛ dT ⎞ − ⎜ sin θ ⎟ = l(l + 1) (4.6) sin θ T sin θ dθ ⎝ 2 dθ ⎠ 43 1 d ⎛ 2 dR ⎞ 2mr 2 ⎛ Ke 2 ⎞ ⎜r ⎟+ 2 ⎜ r + E ⎟ = l(l + 1) ⎜ ⎟ (4.7) R dr ⎝ dr ⎠ h ⎝ ⎠2) Haøm soùng vaø ...