Chương 4: Phương trình nghiệm nguyên

Trong chương trình THCS và THPT thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với các học sinhh . Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi lớn , nhỏ, trong và ngoài nước
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4: Phương trình nghiệm nguyênChương 4 Phương trình nghi m nguyên 4.1 Xét tính chia h t 57 4.2 4.3 S d ng b t đ ng th c 74 n Nguyên t c c c h n, lùi vô h n 86 .v h Tr n Nguy n Thi t Quân (L Lawliet) Ph m Quang Toàn (Ph m Quang Toàn) 4 c 2Trong chương trình THCS và THPT thì phương trình nghi m nguyên ov n luôn là m t đ tài hay và khó đ i v i h c sinh. Các bài toán nghi mnguyên thư ng xuyên xu t hi n t i các kì thi l n, nh , trong và ngoài i hnư c. Trong bài vi t này tôi ch mu n đ c p đ n các v n đ cơ b n c anghi m nguyên (các d ng, các phương pháp gi i) ch không đi nghiênc u sâu s c v nó. Tôi cũng không đ c p t i phương trình Pell, phương4.1 V utrình Pythagore, phương trình Fermat vì nó có nhi u trong các sách,các chuyên đ khác. Xét tính chia h t4.1.1 Phát hi n tính chia h t c a 1 nVí d 4.1. Gi i phương trình nghi m nguyên 13x + 5y = 175 (4.1) 5758 4.1. Xét tính chia h tL i gi i. Gi s x, y là các s nguyên th a mãn phương trình (4.1). Ta . .th y 175 và 5y đ u chia h t cho 5 nên 13x. ⇒ x. (do GCD(13; 5) = 1). .5 .5Đ t x = 5t (t ∈ Z). Thay vào phương trình (4.1), ta đư c 13.5t + 5y = 175 ⇔ 13t + y = 35 ⇔ y = 35 − 13tDo đó, phương trình (4.1) có vô s nghi m nguyên bi u di n dư i d ng (x; y) = (5t; 35 − 13t), (t ∈ Z)Bài t p đ nghBài 1. Gi i phương trình nghi m nguyên 12x − 19y = 285 .v n hBài 2. Gi i phương trình nghi m nguyên 7x + 13y = 65Bài 3. Gi i phương trình nghi m nguyên 5x + 7y = 1124.1.2 Đưa v phương trình ư c s 2 4 o cVí d 4.2. Tìm nghi m nguyên c a phương trình 3xy + 6x + y − 52 = 0 (4.2) hL i gi i. Nh n xét. Đ i v i phương trình này, ta không th áp d ngTa gi i như sau: u iphương pháp trên là phát hi n tính chia h t, v y ta ph i gi i như thnào? (4.2) ⇔ 3xy + y + 6x + 2 − 54 = 0 V ⇔ y (3x + 1) + 2 (3x + 1) − 54 = 0 ⇔ (3x + 1) (y + 2) = 54Như v y, đ n đây ta có x và y nguyên nên 3x + 1 và y + 2 ph i là ư cc a 54. Nhưng n u như v y thì ta ph i xét đ n hơn 10 trư ng h p sao?Vì: 4 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9 = (−1).(−54) = (−2).(−27) = (−3).(−18) = (−6).(−9)Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c4.1. Xét tính chia h t 59Có cách nào khác không? Câu tr l i là có! N u ta đ ý m t chút đ nth a s 3x + 1, bi u th c này chia cho 3 luôn dư 1 v i m i x nguyên.V i l p lu n trên, ta đư c:  3x + 1 = 1 x=0 ⇔   y + 2 = 54 y = 52  3x + 1 = −2 x = −1 ⇔ y + 2 = −54 y = −56Ví d 4.3. Gi i phương trình nghi m nguyên sau: 2x + 5y + 3xy = 8 .v n (4.3)L i gi i. Ta có (4.3) ⇔ x(2 + 3y) + 5y = 8 4 h 2 ⇔ 3x(2 + 3y) + 15y = 24 ⇔ 3x(2 + 3y) + 5(2 + 3y) = 34 o c ⇔ (3x + 5)(3y + 3) = 34Đ n đây phân tích 34 = 1 · 34 = 2 · 17 r i xét các trư ng h p. Chú ý i hr ng 3x + 5, 3y + 2 là hai s nguyên chia 3 dư 2, v n d ng đi u này tacó th gi m b t s trư ng h p c n xét. uVí d 4.4. Gi i phương trình nghi m nguyên V x2 − y 2 = 2011L i gi i. (4.4) ⇔ (x − y)(x + y) = 2011. Vì 2011 là s nguyên t nênư c nguyên c a 2011 ch có th là ±1, ±2011. T đó suy ra nghi m (4.4)(x; y) là (1006; 1005); (1006; −1005); (−1006; −1005); (−1006; 1005).Ví d 4.5. Tìm các s nguyên x, y tho mãn đi u ki n x2 + y 2 = (x − y)(xy + 2) + 9 (4.5)Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c60 4.1. Xét tính chia h tL i gi i. Đ t a = x − y, b = xy. Khi đó (4.5) tr thành a2 + 2b = a(b + 2) + 9 ⇔ (a − 2)(a − b) = 9 (4.6)Vì x, y ∈ Z nên a, , a − 2, a − b đ u là các s nguyên. T (4.6) ta có cáctrư ng h p sau: a−2=9 a = 11 x − y = 11 • ⇔ ⇔ (4.7) • a−b=1 a−2=3 a−b=3 ⇔ b = 10 a=5 b=2 ⇔ ...