CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT THẶNG DƯ

Tài liệu tham khảo về lý thuyết thặng dư
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT THẶNG DƯ CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT THẶNG DƯ §1. KHÁI NIỆM VỀ THẶNG DƯ1. Định nghĩa thặng dư: Giả sử f(z) là một hàm giải tích trong một lân cận của điểma trừ chính điểm a (nghĩa là a là điểm bất thường cô lập của f(z)). Nếu C là đườngcong kín bất kì bao lấy điểm a và nằm trong lân cận nói trên thì theo định lí Cauchy,tích phân ∫ f (z)dz là một số không phụ thuộc C. Ta gọi thặng dư của hàm f(z) tại a là Ckết quả phép chia ∫ f (z)dz cho 2πj. Thặng dư được kí hiệu là Res[f(z), a]. Tóm lại: C 1 Res[f(z), a] = ∫ f (z)dz 2πj C (1) ⎡ 1 ⎤ 1 1 2πjVí dụ: Res ⎢ , a⎥ = ⎣ z − a ⎦ 2πj C ∫ z − a dz = 2πj = 12. Cách tính thặng dư: Công thức chung để tính thặng dư là: Res[f(z), a] = c-1 (2) 1Trong đó c-1 là hệ số của trong khai triển Laurent của hàm f(z) tại lân cận điểm z−aa.Chứng minh: Theo công thức tính hệ số của khai triển Laurent: 1 f ( ζ ) dζ cn = ∫ (ξ − a ) n +1 2πj CKhi n = -1 ta có: 1 c −1 = 2πj C ∫ f (ζ)dζ = Res[f(z), a] a. Thặng dư tại cực điểm đơn: Nếu a là cực điểm đơn của hàm f(z) thì : Res[f(z), a] = lim[(z − a )f (z)] (3) z→a z2Ví dụ 1: Vì z = 2 là cực điểm đơn của nên z−2 ⎡ z2 ⎤ Res[f(z), a] = lim ⎢(z − 2) ⎥ = lim 2 = 4 z2 z →2 ⎣ z − 2⎦ z→ 1Ví dụ 2: Cho f (z) = . Tính thặng dư tại a = 0 sin zTa đã biết : z3 z5 ⎛ z2 z4 ⎞ sin z = z − + − L = z⎜1 − + − L⎟ ⎜ ⎟ 3! 5! ⎝ 3! 5! ⎠ 88Căn cứ vào khai triển này ta thấy điểm z = 0 là không điểm đơn của sinz. vậy điểm z 1= 0 là cực điểm đơn của f (z) = . Theo (3) ta có: sin z ⎡ 1 ⎤ Res[f(z), a] = lim ⎢z =1 z→0 ⎣ sin z ⎥ ⎦ f (z)Định lí: Giả sử f (z) = 1 , trong đó f1(z) và f2(z) là những hàm giải tích tại a. Điểm f 2 (z)a là không điểm đơn của f2(z0 và không phải là không điểm của f1(z). Khi đó: f (a ) Res[f(z), a] = 1 (4) ′ f 2 (a )Chứng minh: Theo giả thiết ta thấy a là cực điểm đơn của f(z). Theo (3) ta có: ⎡ ⎤ ⎡ f (z) ⎤ ⎢ f (z) ⎥ Res[f(z), a] = lim ⎢(z − a ) 1 ⎥ = lim ⎢ 1 ⎥ z →a ⎣ f 2 ( z ) ⎦ z →a ⎢ f 2 ( z ) ⎥ ⎢ (z − a ) ⎥ ⎣ ⎦Vì f2(a) = 0 nên ta có thể viết: lim f1 (z) f (a ) Res[f(z), a] = z →a = 1 f ( z ) − f 2 (a ) f 2 (a ) ′ lim 2 z→a (z − a )Ví dụ 3: Tính thặng dư của f(z) = cotgzVì a = 0 là đơn của cotgz nên theo (4) ta có: f (a ) cos 0 Res[f(z), a] = 1 = =1 ′ f 2 (a ) cos 0 z +1Ví dụ 4: Tính thặng dư của hàm f ( z) = 2 tại a = 2j. z +4Vì 2j là không điểm đơn của (z2 + 4) nên nó là cực điểm đơn của f(z). Theo (4) ta có: f (a ) 2 j + 1 1 1 Res[f(z), a] = 1 = = − j ′ f 2 (a ) 4j 2 4 ezVí ...