CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN SỐ§1.TÍNHĐẠOHÀMBẬCNHẤTBẰNGPHƯƠNGPHÁPROMBERG Đạo hàm theo phương pháp Romberg là một phương pháp ngoại suy đểxácđịnhđạohàmvớimộtđộchínhxáccao.TaxétkhaitriểnTaylorcủa hàmf(x)tại(x+h)và(x‐h): h2 h3 h4 f( x + h) = f( x) + hf ′( x) + f ′′( x) + f ′′′( x) + f ( 4 ) ( x) + ⋅ ⋅ ⋅ (1) 2 3! 4! h2 h3 h4 ′( x) + f ′′( x) − f ′′′( x) + f ( 4 ) ( x) − ⋅ ⋅ ⋅ f( x − h) = f( x) − hf (2) 2 3! 4!...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN SỐ §1.TÍNHĐẠOHÀMBẬCNHẤTBẰNGPHƯƠNGPHÁPROMBERG Đạo hàm theo phương pháp Romberg là một phương pháp ngoại suyđểxácđịnhđạohàmvớimộtđộchínhxáccao.TaxétkhaitriểnTaylorcủahàmf(x)tại(x+h)và(x‐h): h2 h3 h4 f( x + h) = f( x) + hf ′( x) + f ′′( x) + f ′′′( x) + f ( 4 ) ( x) + ⋅ ⋅ ⋅ (1) 2 3! 4! h2 h3 h4 f( x − h) = f( x) − hf ′( x) + f ′′( x) − f ′′′( x) + f ( 4 ) ( x) − ⋅ ⋅ ⋅ (2) 2 3! 4!Trừ(1)cho(2)tacó: 2h 3 2h 5 ( 5) f( x + h ) − f( x − h) = 2 hf ′( x) + f ′′′( x) + f ( x) + ⋅ ⋅ ⋅ (3) 3! 5!Nhưvậyrútra: f( x + h) − f( x − h) h 2 h4 f ′( x) = − f ′′′( x) − f ( 5 ) ( x) − ⋅ ⋅ ⋅ (4) 2h 3! 5!haytacóthểviếtlại: 1 f ′( x) = [f( x + h) − f( x − h)] + a 2 h 2 + a 4 h 4 + a 6 h 6 + ⋅ ⋅ ⋅ (5) 2htrongđócáchệsốaiphụthuộcfvàx.Tađặt: 1 ϕ( h) = [f( x + h) − f( x − h)] (6) 2hNhưvậytừ(5)và(6)tacó: D(1,1) = ϕ( h) = f ′( x) − a 2 h 2 − a 4 h 4 − a 6 h 6 − ⋅ ⋅ ⋅ (7) ⎛ h ⎞ = f ′( x) − a h − a h − a h − ⋅ ⋅ ⋅ 2 4 6 D( 2 ,1) = ϕ⎜ ⎟ (8) ⎝2⎠ 2 4 6 4 16 64vàtổngquátvớihi=h/2i‐1tacó: D(i ,1) = ϕ( h i ) = f ′( x) − a 2 h i2 − a 4 h i4 − a 6 h 6 − ⋅ ⋅ ⋅ i (9)TatạorasaiphânD(1,1)‐4D(2,1)vàcó: ϕ( h) − 4ϕ⎛ ⎞ = −3f ′( x) − a 4 h 4 − a 6 h 6 − ⋅ ⋅ ⋅ h 3 15 ⎜ ⎟ (10) ⎝2⎠ 4 16Chiahaivếcủa(10)cho‐3tanhậnđược: 4 D( 2 ,1) − D(1,1) 1 5 D( 2 ,2) = = f ′( x) + a 4 h 4 + a 6 h 6 + ⋅ ⋅ ⋅ (11) 4 4 16TrongkhiD(1,1)vàD(2,1)saikhácf′(x)phụthuộcvàoh2thìD(2,2)saikhácf′(x)phụthuộcvàoh4.Bâygiờtalạichiađôibướchvànhậnđược: 311 4 6 D( 3 ,2) = f ′( x) + a 4 ⎛ ⎞ + a 6 ⎛ ⎞ + ⋅ ⋅ ⋅ 1 h 5 h ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (12) 4 ⎝ 2 ⎠ 16 ⎝ 2 ⎠vàkhửsốhạngcóh4bằngcáchtạora: 15 D( 2 ,3) − 16 D( 3,2) = −15f ′( x) + ⋅ ⋅ ⋅ + a 6 h 6 (13) 64Chiahaivếcủa(13)cho‐15tacó: 16 D( 3,2) − D( 2 ,2) 1 D( 3 ,3) = = f ′( x) − a 6 h 6 − ⋅ ⋅ ⋅ (14) 15 64Vớilầntínhnàysaisốcủađạohàmchỉcònphụthuộcvàoh6.Lạitiếptụcchiađôi bước h và tính D(4, 4) thì sai số phụ thuộc h8. Sơ đồ tính đạo hàm theophươngphápRomberglà: D(1,1) D(2,1) D(2,2) D(3,1) D(3,2) D(3,3) D(4,1) D(4,2) D(4,3) D(4,4) ............trongđómỗigiátrịsaulàgiátrịngoạisuycủagiátrịtrướcđóởhàngtrên.Với2≤j≤i≤ntacó: 4 j−1 D(i , j − 1) − D(i − 1, j − 1) D(i , j) = ...