Chương 8 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH

Trong chương 3 ta thấy chuỗi Fourier liên tục thời gian (CTFS) liên hệ thời gian liên tục với tần số rời rạc, biến đổi Fourier liên tục thời gian (CTFT) liên hệ thời gian rời rạc với tần số rời rạc. Sự biểu diễn hai hình thức Fourier trên là CTFS và CTFT, là không tuần hoàn trong miền tần số nhưng hai phép biến đổi DTFS và DTFT thì toàn hoàn trong miền tần số đó là kết quả của sự lấy mẫu thời gian. Trong chương này, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) và biến đổi Fourier...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 8 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH 1Chương 8 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH Trong chương 3 ta thấy chuỗi Fourier liên tục thời gian (CTFS) liên hệ thời gian liên tục vớitần số rời rạc, biến đổi Fourier liên tục thời gian (CTFT) liên hệ thời gian rời rạc với tần số rời rạc. Sựbiểu diễn hai hình thức Fourier trên là CTFS và CTFT, là không tuần hoàn trong miền tần số nhưnghai phép biến đổi DTFS và DTFT thì toàn hoàn trong miền tần số đó là kết quả của sự lấy mẫu thờigian. Trong chương này, biến đổi Fourier rời rạc (DFT ) và biến đổi Fourier nhanh được xét đến nhưsự trình bày Fourier thứ ba mà áp dụng cho tín hiệu không tuần hoàn rời rạc thời gian có chu kỳ giớihạn. DFT và FFT thì rất hữu ích trong sự phân tích và xử lý nhiều vấn đề của hệ thống và tín hiệu biếnbiến thời gian LTI. Chúng cho phép xử lý bằng máy tính và vi xử lý tín hiệu số. Thật ra, DFT và FTTđã được nói đến trong chương 3 (phần 3.9) Tín hiệu tương tự tuần hoàn Phổ rời rạc không tuần hoànTín hiệu tương tự không tuần hoàn Phổ liên tục không tuần hoàn Phổ liên tục tuần hoàn Rời rạc và không tuần hoàn spectrum Rời rạc và tuần hoàn Rời rạc và tuần hoàn Hình 8.1: minh họa biến đổi thời gian-tần số cho sự phân tích Fourier khác nhau8.1 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) Với tín hiệu không tần hoàn, x(n) nhìn chung nó tồn tại ở mọi thời điểm, biến đổi Fourier rờirạc thời gian (DTFT) được định nghĩa (phần 3.5) như 2   x ( n)e  jn X ( )  (DFFT) (8.1) n  Tín hiệu thời gian được phục hồi bằng cách lấy tích phân liên tục 1  X ( )e jn d x ( n)  (IDFT) (8.2) 2 2Chú ý rằng tín hiệu thời gian x(n) thì rời rạc nhưng DFT của nó X ( ) thì liên tục theo tần số, và cũnggiống như vậy với DTFT. Sự biến đổi áp dụng cho hệ thống là   h( n)e  jn H ( )  (Đáp ứng tần số) (8.3) n   1   H ( )e jn h( n)  d (Đáp ứng xung) (8.4) 2 28.1.1 Rời rạc tần số liên tục Một số vấn đề của DTFT, đó là vấn đề của sự tính toán số (bằng máy tính hoặc vi xử lý số). Đầu tiên,tổng vô hạn (8.1) và (8.3) không thể xử lý được, trong thực tế cả chuỗi x(n) cũng được giới hạn vềchiều dài hoặc cắt cụt đi, để giảm sự vô hạn của nó. Mặc khác frequency  thì liên tục và theo nguyêntắc ta phải tính (8.1) và (8.3) tại những giá trị vô hạn của  dù tổng thì giới hạn về mặt thời gian. Vìvậy tần số  phải được rời rạc hóa. Thứ hai, như biến đổi X ( ) và H ( ) là những giá trị liên tục, vìvậy ở đây vấn đề tính tích phân cần được xét đến. Điều này cũng dẫn đến sự cần thiết để rời răc hoặclấy mẫu tần . Với tín hiệu không tuần hoàn x( n) và đáp ứng xung h(n), cách chúng ta lấy mẫu chúng? Càngnhiều mẫu được lấy, những mẫu sẽ diễn tả tín hiệu tốt hơn nhưng lại tốn nhiều thời gian cho sự tínhtoán. Trả lời cho câu hỏi quan trọng này nằm ở định lý lấy mẫu miền tần sô, đó là một dạng khác củađịnh lý lấy mẫu ở miền thời gian (phần 1.3.2). Định lý phát biểu như sau: Phổ tần số liên tục của tín hiệu tồn tại trong một chu kỳ thời gian hữu hạn T0 giây có thẻ trìnhbày một cách hoàn toàn bằng những mẫu tần số mà được lấy tại những khoảng tần số ít hơn 1/H0 Hz(mẫu/giây). Phổ tần số có thể được phục hồi từ những mẫu tần số. (hình 8.2) H ( )  H0   0 /2 1 Hình 8.2: Lấy mẫu đáp ứng tần số8.1.2 DFT và đảo của nóĐầu tiên, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) cũng như biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) được lấymẫu tại những khoảng bằng nhau. Xét một tín hiệu nhân quả x(n) DTFT của nó có được từ (4.1) vớingưỡng dưới của tổng là ...