Chuyên đề 1: Hệ phương trình

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên và học sinh đang trong giai đoạn luyện thi đại học môn toán - Chuyên đề - Hệ phương trình
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề 1: Hệ phương trình Chuyên đề: Hệ phương trình Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1: Phương trình và hệ phương trình.I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp. 2 2  x − 2  x + 2  x − 4 2Bài 1:Gpt: 10.  +  − 11. 2  x − 1  = 0.   x +1   x −1   Giải: x−2 x+2Đặ t u = ;v = (1). x +1 x −1Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0 ⇔ (u-v).(10u-v)=0 ⇔ u=v hoặc 10u=v.Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15.Giải:Đặt x2 - 5x + 5 = u (1).Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15⇔ (x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0⇔ (x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0⇔ (x2-5x+4).(x2-5x+6)-15=0⇔ (u-1).(u+1)-15=0⇔ u2-16=0⇔ u= ± 4.Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x. 2  x   x Bài 3:Gpt:   +  = 90.  x + 1  x − 1Giải:  1 1  .⇔ x 2 . +  = 90  ( x + 1) 2 ( x − 1) 2  2x 2 + 2⇔ x 2. = 90 . ( x 2 − 1) 2Đặt u = x2 ( u ≥ 0) (1).Ta có: 2u + 2u. = 90 ⇔ 2u 2 + 2u = 90.(u − 1) 2 ( u ≠ 1). (u − 1) 2⇔ 88u 2 − 182u + 90 = 0 .Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.Bài 4:Gpt: 3 x + 3 2x − 3 = 3 12.( x − 1) .Giải:Đặt 3 x = u; 3 2x − 3 = v (1).Có:Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi 1 Toán9 Chuyên đề: Hệ phương trình Trang 2u + v = 4.(u + v ) ⇔ u + v + 3uv.(u + v) = 4.(u + v ) 3 3 3 3 3 3 3 u = −v⇔ 3.(u + v).(u 2 − 2uv + v 2 ) = 0 ⇔ 3.(u + v).(u − v) 2 = 0 ⇔  u = vXét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x. 1 x2Bài 5:Gpt: 5x 3 + 3x 2 + 3x − 2 + = + 3x (1). 2 2Giải:Từ (1) suy ra: 2. 5x 3 + 3x 2 + 3x − 2 = x 2 + 6x − 1⇒ 20x 3 + 12x 2 + 12x − 8 = x 4 + 36x 2 + 1 + 12x 3 − 2x 2 − 12x⇒ x 4 − 8x 3 + 22x 2 − 24x + 9 = 0 (x ≠ 0). 24 9⇒ x 2 − 8x + 22 − + = 0. x x2 3Đặt x + = y (*) ta có: xy - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x. 2 x +1Bài 6:Gpt: ( x + 1).( x − 4) + 3.( x − 4). − 18 = 0(1). x−4Giải:Điều kiện x > 4 hoặc x < -1.*Nếu x > 4, (1) trở thành:( x + 1).( x − 4) + 3. ( x + 1).( x − 4) − 18 = 0Đặt ( x + 1).( x − 4) = y ≥ 0 (2) ta có:y2 + 3y -18 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x.*Nếu x < -1, (1) trở thành:( x + 1).( x − 4) − 3. ( x + 1).( x − 4) − 18 = 0Đặt ( x + 1).( x − 4) = y ≥ 0 (3) ta có:y2 - 3y -18 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x.Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1).Giải:(1) ⇔ 4x 4 + 4x 3 − 20x 2 + 2x + 1 = 0 (x ≠ 0).Chia cả hai vế cho x2 ta được : 2 1⇔ 4x2 + 4x -20 + + 2 = 0. x x 2 1⇔  2x +  + 2. 2x +  − 24 = 0 . Đặt y = 2x + .(2) 1 1      x  x x 2Ta có: y + 2y -24 = 0.Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi 2 Toán9 Chuyên đề: Hệ phương trình Trang 3Bài 8:Gpt: x − 16x + 64 − 2. x − 8x + 16 + x = 0. 2 2 2Giải:⇔ x − 8 − 2. x − 4 + x = 0. x -∞ 0 4 8 +∞ x-8 - - - 0 + x-4 - -0 + + x - 0 + + +Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản.Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4).Giải:⇔ 1 + x 2 + x 4 + 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 = 5 + 5x 2 + 5x 4⇔ 4 x 4 − 2 x 3 + 2x 2 − 2x + 4 = 0⇔ 2x 4 − x 3 + x 2 − x + 2 = 0Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x ≠ 0.Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được: 1 2 12x2 - x + 1 - + 2 = 0 . Đặt y = x + (*). Ta có: x x x2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x.Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16.Giải:Đặt 7 - x = y (*).Ta có:(y-1)4 + (y + 1)4 =16 ⇔ 2y4 +12 y2 +2 = 16 ⇔ 2.(y-1).(y+1).(y2+7)=0⇔ y =1 hoặc y = -1.Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trị của x.II.Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hoặc (x;y;z) của các phương trình sau:Bài 1: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3)Giải:Đặt y2 + 3y = t.Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t.*Nếu t > 0 thì t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy ra không tồn tại x thỏa mãn.*Nếu t < -2 thì 2t + 4 < 0 nên t2 + 2t > t2 + 4t + 4 suy ra t2 + 2t > t2 + 4t + 4 = (t+2)2.Suy ra: x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*).Lại có: t2 +2t < t2 suy ra x2 < t2 (**).Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi 3 Toán9 Chuyên đề: Hệ phương trình Trang 4Từ (*)&(**) suy ra (t + 2 ...