CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU

CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU TÓM TẮT CÔNG THỨC (1) Phương trình mặt cầu 1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R là (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2) Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 sẽ có tâm I(a, b, c) bán kính R = a 2 + b2 + c 2 – d 0 3) Điều kiện tiếp xúc giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU CHUYEÂN ÑEÀ 10: HÌNH CAÀU TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC (1) Phöông trình maët caàu 1) Phöông trình maët caàu (S) coù taâm I(a, b, c) baùn kính R laø (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2) Daïng toång quaùt cuûa phöông trình maët caàu laø x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 a 2 + b2 + c2 − d neáu ta coù ñieàu kieän seõ coù taâm I(a, b, c) baùn kính R = a 2 + b2 + c 2 – d > 0 3) Ñieàu kieän tieáp xuùc giöõa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) coù taâm I baùn kính R laø khoaûng caùch töø I ñeán (P) baèng baùn kính R.Ví duï 1: Laäp phöông trình maët caàu coù taâm I(2, 3, –1) caét ñöôøng thaúng (d) ⎧5x − 4 y + 3z + 20 = 0 ⎨ ⎩3x − 4 y + z − 8 = 0 taïi hai ñieåm A vaø B sao cho AB = 16 Giaûi Goïi (P) laø maët phaúng qua I vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d). Ta coù phöông trình tham soá ñöôøng(d) laø ⎧ x = t − 14 ⎪ ⎪ 1 25 ⎨y = t − 2 2 ⎪ z = −t ⎪ ⎩ Goïi (P) laø maët phaúng qua I(2, 3, –1) vaø vuoâng goùc ñöôøng thaúng (d) neân coù phaùp vectô laø a =⎛1 ⎞⎜ 1, , −1⎟ . Vaäy phöông trình (P) vieát⎝2 ⎠ 1 (x – 2) + (y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0 2 1 25 ( ) Giao ñieåm K giöõa (d) vaø (P) coù toïa ñoä t – 14, t– , –t 2 2thoûa phöông trình (P). Vaäy ta coù 1 1 25 ( ) 2(t – 14) + t– +2t – 9 = 0 2 2 Suy ra t = 11. Vaäy ta coù K (–3, –7, –11). Khoaûng caùch töø I ñeán (d) laø IK = 25 + 100 + 100 = 15 AB 2 IK 2 + Do ñoù baùn kính maët caàu laø R = = 225 + 64 4 Neân phöông trình maët caàu vieát laø : (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289Ví duï 2: Laäp phöông trình maët caàu coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng (d) ⎧2 x + 4y − z − 7 = 0 ⎨ ⎩4 x + 5y + z − 14 = 0 vaø tieáp xuùc vôùi hai maët phaúng coù phöông trình (P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0 Giaûi Ta coù (P) // (Q) neân khi goïi A, B laø giao ñieåm cuûa (d) vôùi (P) vaø (Q) thì taâm I maët caàu tieáp xuùcvôùi (P) vaø (Q) phaûi laø trung ñieåm ñoaïn AB vaø baùn kính maët caàu baèng khoaûng caùch töø I ñeán (P). Ta coù toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä ⎧2x + 4y − z − 7 = 0 ⎪ ⎨4 x + 5y + z − 14 = 0 ⇒ A(2, 1, 1) ⎪ x + 2y − 2z − 2 = 0 ⎩ Ta coù toïa ñoä B laø nghieäm cuûa heä ⎧2x + 4y − z − 7 = 0 ⎪ ⎨4 x + 5y + z − 14 = 0 ⇒ B(–4, 5, 5) ⎪ x + 2y − 2z + 4 = 0 ⎩ Vaäy taâm maët caàu laø I(–1, 3, 3) vaø baùn kính R = 1 Neân phöông trình maët caàu vieát thaønh (x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1.Ví duï 3 ( ÑH KHOÁI D –2004) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 3 ñieåmA (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) vaø maët phaúng (P): x + y + z – 2 = 0. Vieát phöông trình maët caàu ñi qua 3 ñieåm A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P). Giaûi 2Caùch 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Maët caàu qua A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P)neân ta coù: ⎧ 4a + 2c + d = −5 ⎧ a = −1 ⎪2a + d = −1 ⎪b = 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ ...