Chuyên đề 2: Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số - Chủ đề 2.1

Chuyên đề 2: Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số- Chủ đề 2.1 sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số trình bày các kiến thức cơ bản và một số bài tập kèm theo có đáp án chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề 2: Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm số - Chủ đề 2.1Chuyên đề 2. Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm sốBTN_2_1CHỦ ĐỀ 2.1. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐA. KIẾN THỨC CƠ BẢNyCho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C1 ) và y  g ( x ) có đồ thị (C2 ) .Phương trình hoành độ giao điểm của (C1 ) và (C2 ) là f ( x )  g ( x ) 1 .Khi đó: Số giao điểm của (C1 ) và (C2 ) bằng với số nghiệm củaphương trình 1 .y0xx0 O Nghiệm x0 của phương trình 1 chính là hoành độ x0 củagiao điểm. Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y  f  x  hoặc y  g  x  . Điểm M  x0 ; y0  là giao điểm của (C1 ) và (C2 ) .B. KỸ NĂNG CƠ BẢNI. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂMXét hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d a  0có đồ thịC và hàm số bậc nhấty  kx  n có đồ thị d .Lập phương trình hoành độ giao điểm của  C  và d : ax3  bx 2  cx  d  kx  n(1)Phương trình 1 là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm. Ta có 2 trường hợp: Trường hợp 1: Phương trình 1 có “nghiệm đẹp” x0 .Thường thì đề hay cho nghiệm x0  0;  1;  2;... thì khi đó: x  x0  0(1)   x  x0   Ax 2  Bx  C   0   2 Ax  Bx  C  02Khi đó:+  C  và d có ba giao điểm  phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt  phương trình 2  có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm x0 . (Đây là trường hợp thường gặp)+  C  và d có hai giao điểm  phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt  phương trình 2  có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm x0 hoặc phương trình  2  có nghiệmkép khác x0 .+  C  và d có một giao điểm  phương trình 1 có một nghiệm  phương trình  2  vônghiệm hoặc phương trình  2  có nghiệm kép là x0 . Trường hợp 2: Phương trình 1 không thể nhẩm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổiphương trình 1 sao cho hạng tử chứa x tất cả nằm bên vế trái, các hạng tử chứa tham sốm nằm bên vế phải, nghĩa là 1  f ( x)  g (m) .Ta khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số y  f  x  và biện luận số giao điểm của  C  vàd theo tham số m .Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn1|THBTNChuyên đề 2. Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm sốBTN_2_12. CÁC VÍ DỤVí dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị (C ) : y  x 3  3 x 2  2 x  1 và đường thẳng y  1 .Hướng dẫn giảix  0Phương trình hoành độ giao điểm: x  3x  2 x  1  1  x  3 x  2 x  0   x  1 . Vậy cóx  23232ba giao điểm A  0;1 , B 1;1 , C  2;1 .Ví dụ 2: Cho hàm số y  mx3  x 2  2 x  8m có đồ thị là  Cm  . Tìm m đồ thị  Cm  cắt trụchoành tại ba điểm phân biệt.Hướng dẫn giảiPhương trình hoành độ giao điểm mx  x 2  2 x  8m  0 (1) x  2  x  2   mx 2  (2m  1) x  4m   0   2 mx  (2m  1) x  4m  03 Cm (2)cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  1 có ba nghiệm phân biệt.  2  có hai nghiệm phân biệt khác 2m  0   12m 2  4m  1  012m  2  0m  0m  01 1   m    11.62 m 621m6 1 1Vậy m    ;  \ 0 thỏa yêu cầu bài toán. 6 2Ví dụ 3: Cho hàm số y  2 x3  3mx 2   m  1 x  1 có đồ thị  C  . Tìm m để đường thẳngd : y   x  1 cắt đồ thị  C  tại ba điểm phân biệt.Hướng dẫn giảiPhương trình hoành độ giao điểm của  C  và d :x  02 x3  3mx 2   m  1 x  1   x  1  x  2 x 2  3mx  m   0   2 2 x  3mx  m  0 *Yêu cầu bài toán   * có hai nghiệm phân biệt khác 0  9m 2  8m  0m  08 m   ; 0    ;   .9Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn2|THBTNChuyên đề 2. Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm sốBTN_2_18Vậy m   ;0    ;   thỏa yêu cầu bài toán.9Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y  x 3  mx  2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.Hướng dẫn giảiPhương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành làx 3  mx  2  0 .Vì x  0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với2m   x2  x  0x2 2 x 3  22Xét hàm số f ( x )   x 2  với x  0 , suy ra f ( x)  2 x  2 . Vậyxxx2f ( x)  0  x  1 .Bảng biến thiên:xf  x010–3f  xDựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất  m  3 . Vậym  3 thỏa yêu cầu bài toán.Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị  C  của hàm số y  x3  3x 2  9 x  m cắt trục hoành tại ba điểmphân biệt.Hướng dẫn giảiPhương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành:x 3  3 x 2  9 x  m  0  x3  3x 2  9 x   m1Phương trình 1 là phương trình hoành độ giao điểm của đường  C  : y  x3  3x 2  9 xđường thẳng d : y   m . Số nghiệm của 1 bằng số giao điểm của  C  và d .vàKhảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số y  x3  3 x 2  9 x .Tập xác định D   .x  3Đạo hàm y   3x 2  6 x  9; y  0  3x 2  6 x  9  0  . x  1Bảng biến thiên:xy10305y27Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 1 có ba nghiệm phân biệt 27  m  5  5  m  27 .Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn3|THBTNChuyên đề 2. Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm sốBTN_2_1Ví dụ 6: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A  1; 0  với hệ số góc k (k   ) . Tìm k đểđường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C ) : y  x 3  3 x 2  4 tại ba điểm phân biệt A, B, C và tamgiác OBC có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ).Hướng dẫn giảiĐường thẳng d đi qua A(1;0) và có hệ số góc k nên có dạng y  k ( x  1) , haykx  y  k  0 .Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d là: x  1x 3  3x 2  4  kx  k   x  1  x 2  4 x  4  k   0  2 g ( x )  x  4 x  4  k  0 (*)d cắt (C ) tại ba điểm phân biệt  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1  0k  0. g (1)  0k  9Khi đó g ( x )  0  x  2  k ; x  2  k . Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt làA(1; 0), B  2  k ;3k  k k  , C  ...