Chuyên đề Bất Đẳng Thức

Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đốitượng. (Xem thêm: đẳng thức)· Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và· Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề Bất Đẳng Thức Bất Đẳng ThứcTrong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đốitượng. (Xem thêm: đẳng thức) • Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và • Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b.Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có • có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và • có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so vớimột đại lượng khác. • Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều.Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sauđây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập concủa nó.Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳngthức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếumột bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thìnó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện.Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đicùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương.Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một sốâm.Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là 1.Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2.Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình. Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu củaBĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức...Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng :Giải: , bất đẳng thức này đúng do giả thiếtĐẳng thức xảy ra2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tụcVí dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và .Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :Giải:Từ giả thiết . Ta có :Đặt với ; có P là hàm nghịch biến trong đoạn ( đạt khi hoặc ). ( đạt khi ).3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từngdạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phùhợp nhất cho bài toánVí dụ 1:Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:Giải:Do giả thiết (đpcm)Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khiVí dụ 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta đều có:Giải: bất đẳng thức cần chứng minh đúng với .Với , đpcm (1)Ta có : ( đpcm).Ví dụ 3:Cho . Chứng minh:Giải:Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 04.Sử dụng tam thức bậc 2:Ví dụ:Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có:Giải:- Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng.- Nếu thì với vàđpcmVế trái (1) là tam thức bậc 2 với nên (1) đúng ( đpcm)5.Phương pháp quy nạp:Ví dụ:Chứng minh rằng với thìHãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên.Giải:Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây:Với .Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n):- Với ( do .- Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với .Do khẳng định đúng vớiVìMà vế phải bằngVậy khẳng định đúng với Kĩ thuật Cô-Si ngược dấuBất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với họcsinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu.Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:Bài giải:Ta luôn có :Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1)Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3)Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (đpcm).Dấu = xảy ra khi và chỉkhi a=b=c=1Trong bài này ...