Chuyên đề Bất đẳng thức AM-GM (Cô-si)

Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như viên kim cương bởi tính ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng như tìm cực trị. Trong chương trình THCS chủ yếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên đề này sẽ chỉ nêu ứng dụng trong việc giải các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Mời các bạn cùng tham khảo chuyên đề để nắm chi tiết hơn các kiến thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề Bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) Chuyên đề. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CÔ-SI)A. Kiến thức cần nhớTrong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như viên kim cương bởi tínhưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng như tìm cực trị. Trong chương trình THCS chủyếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên đề này sẽ chỉ nêu ứng dụngtrong việc giải các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.• Bất đẳng thức Cô-si: cho hai số x, y không âm, ta có:x y x y  xy hoặc xy  2 2Dấu bằng chỉ xảy ra khi x  y.Bất đẳng thức Cô-si còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM).B. Một số ví dụVí dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, ta có:4a  3b  5c  2  ab  2 bc  3 ca Đẳng thức xảy ra khi nào?(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Gia Lai) GiảiTìm cách giải. Nhận thấy vế phải xuất hiện ab  2 bc  3 ca , do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ tới việcdùng bất đẳng thức Cô-si. Vấn đề còn lại là tách vế trái thành những hạng tử thích hợp nhằm khi vận dụngbất đẳng thức Cô-si thì lần lượt xuất hiện các hạng tử vế phải.Trình bày lời giảiÁp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:a  b  2 ab 12b  2c  4 bc  2 3a  3c  6 ca  3Từ ( 1 ), (2) và (3) cộng vế với vế ta được:4a  3b  5c  2  ab  2 bc  3 ca Đẳng thức xảy ra khi a  b  c.Ví dụ 2: Cho S  1.2019  3.2017  5.2015  ...  2019.1. So sánh S với 10102 GiảiTìm cách giải. Nhận thấy các hạng tử trong tổng S, thì 1  2019  3  2017  ...  2019  1 và bằng 2.1010.Nhằm xuất hiện tổng giống nhau đó và cũng liên quan tới số 1010, chúng ta nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng x ythức Cô-si dạng xy  2Trình bày lời giải x yÁp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: xy  2 1  2019 3  2017 5  2015 2019  1Suy ra S     ...  2 2 2 2 S  1010  1010  1010  ...  1010  S  10102 a2 b2 c2Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh:    12 b 1 c 1 a 1 GiảiTìm cách giải. Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế phải là tổng ba hạng tử dương có chứamẫu số, còn vế trái là một số thực. Do vậy chúng ta cần chọn một hạng tử thích hợp để khi vận dụng bất a2 a2đẳng thức Cô-si khử mẫu các hạng tử vế trái, chẳng hạn:    b  1  2. .  b  1  4a  , và b 1 b 1chọn   4 !Trình bày lời giảiÁp dụng bất đẳng thức cô-si; ta có: a2 a2  4  b  1  2. .4  b  1  4a 1b 1 b 1 b2 b2  4  c  1  2. .4  c  1  4b  2 c 1 c 1 c2 c2  4  a  1  2. .4  a  1  4c  3a 1 a 1Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được: a2 b2 c2    4  a  b  c  3  4  a  b  c b 1 c 1 a 1 a2 b2 c2    12 b 1 c 1 a 1Điều phải chứng minh  a2  b  1  4  b  1  2  bĐằng thức xảy ra khi   4  c  1  a  b  2  c  1  c2   4  a  1  a 1Ví dụ 4: Cho a, b là số thực không âm thỏa mãn a 2  b2  2, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcM  a 3b  a  2b   b 3a  b  2a . GiảiTìm cách giải. Giả thiết là điều kiện liên quan các biến với số mũ 2, còn biểu thức M phần biến có chứa căn.Nhằm biển đổi từ biểu thức chứa căn tới biểu thức không có căn và có số mũ 2, chúng ta cần áp dụng bất x y x2  y 2đẳng thức Cô-si dạng xy  và xy  2 2Trình bày lời giảiÁp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 3b  a  2b a  5b 3b  a  2b    1 2 2 3a  b  2a 5a  b 3a  b  2a     2 ...